Esboce a região do primeiro quadrante delimitada pelos gráficos das funções y = 2x 1, y =3/x e y = 1. Calcule a área da região.
Oi, tudo bem? A obtenção dos limites de integração se dá através da análise gráfica e essa pode ser feita na raça e no sangue ou via um software gráfico. Agora veja só, quando eu quero analisar funções de uma variável, eu utilizo o site do wolfram, enquanto quando eu quero analisar simetrias em objetos tridimensionais, eu uso o geogebra, beleza? São ambos gratuitos! Desse modo, eu joguei as fórmulas que você forneceu lá no site do wolfram e obtive o seguinte plot < https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3D2x%2B1%3By%3D3%2Fx%3By%3D1 >.
O primeiro passo é encontrar a intersecção entre "y = 2x + 1 e y = 3/x", vamos lá:
Nessa intersecção, as suas ordenadas devem ser iguais, assim:
que por sua vez possui as seguintes raízes
Porém como estamos analisando apenas o primeiro quadrante, devemos abrir mão do primeiro valor obtido acima, de tal modo que a única solução válida será, no nosso caso, x = 1. Beleza, agora observe outra coisa:
Quando x = 0, temos
Isto é, a reta descrita por "y = 2x + 1" intercepta "y = 1"exatamente no eixo y, onde x = 0. Assim, sabendo que "y = 1" e "y = 2x + 1" se interceptam sobre o eixo y e que "y = 2x + 1" e "y = 3/x" se interceptam em x = 1 (observe o gráfico), temos que ao traçar uma outra vertical imaginária em x = 1, a região entre x = 0 e x = 1, delimitada por "y = 2x + 1" e "y = 1", possuirá a forma de um triângulo! Consegue ver? Então, essa é a primeira área que precisamos descobrir! Agora e a segunda? Para essa nós precisaremos descobrir agora onde a curva "y = 3/x" intercepta "y = 1", vamos lá:
Analogamente ao que foi feito acima, temos
Portanto, a segunda região não vai de "x = 1" ao infinito, mas sim de "x = 1" até "x = 3". Assim, para cálcular essa segunda área nós só precisamos integrar a função "y = 3/x" no intervalo [1,3] e depois subtrair a área do bloco dado pelo produto cartesiano: [1,3] x [0,1] (essa subtração deve ser feita porque a integral fornecerá a área total abaixo da curva e não apenas a área entre a curva e a reta y = 1).
Desse modo, obtemos
e portanto
onde o número 2 na expressão acima refere-se à área do bloco abaixo da reta y = 1 e entre x = 1 e x = 3. Portanto, como a área do triângulo é dada por
temos
Espero ter ajudado e bons estudos!
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