Calculo 1/analise real na reta

Question

Sejam X = {x racional tal que 0<x<1} Y={y racional tal que 0<y<1) Provar que inf X = inf Y= 0 e Sup X = Sup Y = 1

Eduardo H. · Accepted Answer

Inicialmente, tem certeza que os conjuntos são exatamente esses? Talvez não seria Y={y irracional tal que 00, existe n_c natural tal que 0<1/n_c<c, e como 1/n_c pertence a X, encontramos um elemento de X que satisfaz a condição II'), logo com as duas condições satisfeitas, temos que 0 = inf(X). Para os outros, é análogo.

Miguel Z. · Answer

Vejamos que Inf X=0. Primeiro vemos que 0 é cota inferior de X, então Inf X>=0, .........................(1) pois o Inf X é a maior das cotas inferiores. Observemos também que Inf X<1, pois inf X é menor ou igual que todos os elementos de X e eles são menores que 1. Falta provar que Inf X<=0. Para isso vamos usar o método do absurdo, isto é, vamos supor que Inf X>0, ou seja temos 00, portanto devemos ter que Inf X<=0,..................................(2) De (1) e (2) concluimos que Inf X=0.

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