Calculo 1/analise real na reta

Sejam X = {x racional tal que 0<x<1}
 Y={y racional tal que 0<y<1)
Provar que inf X = inf Y= 0 e Sup X = Sup Y = 1

Gustavo P.
Gustavo
perguntou há 1 mês

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2 respostas
Professor Eduardo H.
Respondeu há 1 mês
Inicialmente, tem certeza que os conjuntos são exatamente esses? Talvez não seria Y={y irracional tal que 0
Vou te ajudar com um deles, digamos, inf X = 0

Pra mostrar que algo é ínfimo, temos que mostrar algumas coisas:

Definição: Para que a_0 pertencente ao conjunto K seja o ínfimo de A contido em K, precisamos que:
I) Para todo a pertencente a A, a_0 <= a
II) Se c pertence a K é tal que c <= a para todo a em A, então c <= a_0.

Para esse item II), podemos reescrever da seguinte maneira (que eu prefiro e normalmente é mais fácil de fazer conta)

II' ) Dado c em K, com a_0 < c, existe a em A tal que a< c.

Lembro também que o ínfimo é único.

(Essa definição é do livro de análise real do Elon)

Então vamos lá, pela definição do conjunto X, 0 < x para todo x em X, em particular, 0 <= x para todo x em X, ou seja, temos o item I).
Agora seja c em R tal que 00, existe n_c natural tal que 0<1/n_c
Professor Miguel Z.
Respondeu há 1 mês
Vejamos que Inf X=0.

Primeiro vemos que 0 é cota inferior de X, então

Inf X>=0, .........................(1)

pois o Inf X é a maior das cotas inferiores.
Observemos também que Inf X<1, pois inf X é menor ou igual que todos os elementos de X e eles são menores que 1.

Falta provar que Inf X<=0. Para isso vamos usar o método do absurdo, isto é, vamos supor que Inf X>0, ou seja temos

0
Como 0
Existe c racional tal que 00, portanto devemos ter que

Inf X<=0,..................................(2)

De (1) e (2) concluimos que Inf X=0.

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