Cálculo 4 diluição

Question

Um tanque contém inicialmente 500 litros de salmoura com 5kg de sal. Em t=0, outra solução de salmoura com 100g de sal por litro começa a entrar no tanque à razão de 10 L/min, enquanto a mistura bem homogeneizada sai do tanque à mesma taxa. a) Qual é a quantidade de sal após 10 minutos? b) Qual o instante em que a mistura no tanque contém 10kg de sal?

Vinicius B. · Accepted Answer

Seja m(t0) a massa de sal no tanque no momento t0, e m(t0+&Delta;t) a massa de sal no tanque ap&oacute;s a passagem de &Delta;t minutos. Pelos dados do enunciado, temos: m(t0+&Delta;t)=0,1*10*&Delta;t-(10/500)m(t)*&Delta;t+m(t0). Rearranjando, temos: m(t0+&Delta;t)-m(t0) = &Delta;t-m*&Delta;t/50. Dividindo todos os termos por &Delta;t e tomando o limite &Delta;t->0, obtemos a equa&ccedil;&atilde;o diferencial: m'=1-m/50 com a condi&ccedil;&atilde;o inicial m(0) = 5 Resolvendo por varia&ccedil;&atilde;o de par&acirc;metros, temos m(t) = A(t)e(-t/50) para a parte homog&ecirc;nea e, substituindo na equa&ccedil;&atilde;o n&atilde;o homog&ecirc;nea encontramos A'=e(t/50) => A=50e(t/50)+B. Logo, m(t) = 50-Be(-t/50). Pela condi&ccedil;&atilde;o inicial, encontramos B=45 e a solu&ccedil;&atilde;o para o PVI fica m(t) = 50-45e(-t/50). a) Para este item, basta substituir t=10. Teremos m(10) = 50-45e(-1/5) = 13,16 minutos (aproximadamente) b) Para este item, basta substituir m(t)=10 e resolver a equa&ccedil;&atilde;o: 10=50-45e(-t/50) => t=-50*ln(8/9) = 5,89 minutos (aproximadamente)

Fabio T. · Answer

a) Vamos analisar primeiro o tanque  :   500 litros de salmoura com 5 kg de sal . Escrevendo na unidade  de gramas :   500 litros    -   5000 g    ( solução de salmoura  1 )  ___________________________________________________________________  Analisamos  agora a vazão  ( solução de salmoura 2 ) :   vazão ( v )  =  10 litros     -      1 minuto    Após 10 minutos  , fazemos a regra da proporção :   vazão ( v )  =  10 litros     -      1 minuto                             x litros     -     10 minutos   x = 10 x 10 / 1    , x  = 100 litros  .   Portanto , após 10 minutos  , haverá mais 100 litros de solução no tanque.  ____________________________________________________________________ Para essa segunda solução , analisamos  agora a quantidade de sal :   O enunciado diz que essa segunda solução contem 100 g de sal / litro.   Após 10 minutos, encontramos 100 litros de solução .   Fazendo novamente a regra da proporção , temos :   1 litro        -     100 g  de sal  100 litros   -        Y    Y = 100 x 100 / 1     ;    Y = 10.000 g  de sal  ( somente na segunda solução ) .   Então , após 10 minutos devemos somar a quantidade de sal que já havia no tanque ( 5.000 g ) com a quantidade  que foi adicionada ( 10.000 g ) .   5.000 + 10.000 = 15.000 g   ou  transformando em kg : 15.000 / 1000  = 15 kg   b) Para saber qual o instante em que o tanque terá 10 kg da mistura de sal :   Vamos lembrar que a mistura do tanque já tem 5 kg de sal ( solução de salmoura 1 ). Então, o cálculo é para que a quantidade adicionada ( solução de salmoura 2 ) seja de : 10 kg – 5 kg = 5 kg.   A solução de salmoura 2 contem  100 g de sal / litro . Para que ela chegue em 5 kg , primeiro vamos transformar para a mesma unidade de  medida :   5 kg = 5.000 g    Ou seja ,  precisamos acrescentar 5.000 g de sal  provenientes da solução de salmoura 2 .   Aplicando a regra de proporção para sabermos quantos litros de solução serão necessários :   1 litro     -     100 g de sal    W          -    5.000 g de sal .   W = 5.000 x 1  / 100   ;   W  = 50 litros.    Sabendo-se que a vazão é de  10 litros / minuto  , façamos nova regra de proporção para acharmos em quanto tempo  alcançaremos 50 litros  :  10 litros   - 1 minuto   50 litros   -  P    P = 50 x 1  / 10  ;  P = 5 minutos .   Em 5 minutos de adição da solução de salmoura 2 , atingimos 10 kg de sal no tanque .

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