Cálculo diferencial

Para resolver o limite $\underset{x\to -2}{lim}\frac{x^3-x^2-5x+2}{x^2+3x+2}$, vamos simplificar a expressão racional, se possível. Primeiro, observe o denominador:

Podemos fatorar isso da seguinte maneira:

Agora, vamos dividir o numerador pelo denominador fatorado. O método de substituição direta não funciona aqui porque resultará em uma divisão por zero. Então, devemos procurar por um fator comum.

Primeiro, substitua $x=-2$ em ambos os polinômios para ver se ((x + 2)) é realmente um fator comum. Para o numerador:

Como substituindo $x=-2$ no numerador obtivemos 0, isso confirma que ((x + 2)) é um fator do numerador. Agora, nós fatoramos o numerador usando $x+2$. Vamos fazer a divisão polinomial:

Dividimos $x^3-x^2-5x+2$ por $x+2$:

1. Divida $x^3$ por $x$ para obter $x^2$.
2. Multiplique $x^2$ por $x+2$ para obter $x^3+2x^2$.
3. Subtraia $x^3+2x^2$ de $x^3-x^2-5x+2$ para obter $-3x^2-5x+2$.
4. Divida $-3x^2$ por $x$ para obter $-3x$.
5. Multiplique $-3x$ por $x+2$ para obter $-3x^2-6x$.
6. Subtraia $-3x^2-6x$ de $-3x^2-5x+2$ para obter $x+2$.
7. Divida $x$ por $x$ para obter $1$.
8. Multiplique $1$ por $x+2$ para obter $x+2$.
9. Subtraia $x+2$ de $x+2$ para obter $0$.

Então, a divisão nos dá:

Portanto, a fatoração do numerador é:

Agora substituímos na expressão original:

Cancelamos o fator comum ((x + 2)):

Agora substituímos $x=-2$:

Portanto,