Cálculo diferencial e integral: funções de várias

Verifique se a função u=1/sqrt x^2 y^2 z^2 é solução da equação de Laplace tridimensional Uxx Uyy Uzz

Adrian C.
Adrian
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Professor Pedro G.
Respondeu há 4 meses
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Olá, Adrian!
Para verificarmos se a função U = 1/sqrt(x² + y² + z²) é solução de um equação diferencial basta derivarmos ela e substituirmos na equação. Por exemplo a derivada parcial em x será
Ux = -1/[2.sqrt(x² + y² + z²)].2x
= -x/(x² + y² + z²)^(3/2).

E para acharmos Uxx derivamos novamente por x para obter

Uxx = -[1.(x² + y² + z²)^(3/2) - 3.x².sqrt(x² + y² + z²)]/(x² + y² + z²)³
= [3.x².sqrt(x² + y² + z²) - (x² + y² + z²)^(3/2)]/(x² + y² + z²)³

Agora basta fazer a mesma coisa para y e z e substituir na euqação.

Uyy = [3.y².sqrt(x² + y² + z²) - (x² + y² + z²)^(3/2)]/(x² + y² + z²)³
Uzz = [3.z².sqrt(x² + y² + z²) - (x² + y² + z²)^(3/2)]/(x² + y² + z²)³

Sua equação não apareceu corretamente na pergunta, mas espero que daqui seja possível continuar. Mas se a equação for Uxx + Uyy + Uzz = 0 teremos

[3.x².sqrt(x² + y² + z²) - (x² + y² + z²)^(3/2)]/(x² + y² + z²)³ + [3.y².sqrt(x² + y² + z²) - (x² + y² + z²)^(3/2)]/(x² + y² + z²)³
+ [3.z².sqrt(x² + y² + z²) - (x² + y² + z²)^(3/2)]/(x² + y² + z²)³ =
= [3(x² + y² + z²).sqrt(x² + y² + z²) - 3(x² + y² + z²)^(3/2)]/(x² + y² + z²)³
= [3(x² + y² + z²)^(3/2) - 3(x² + y² + z²)^(3/2)]/(x² + y² + z²)³ = 0.

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