Cefet-pi

Com relação aos conjuntos A e B e seus complementares A^c e B^c, é correto afirmar:
A) (A U B)^c = A^c U B^c
B) (A intersecção B)^c = A^c intersecção B^c
C) (A U B)^c = A^c intersecçãoB^c
D) (A intersecção B)^c = A^c U ^c
E) A - B = B  intersecção A^c

Jefferson S.
Jefferson
perguntou há 2 meses

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1 resposta
Professor Ewerton L.
Respondeu há 2 meses
Olá Jefferson. Boa noite. Para mostrar que uma afirmação é verdadeira devemos prová-la, ou demonstrá-la, e para mostrar que uma afirmação é falsa devemos apresentar um contra-exemplo, ou seja, dar um exemplo onde tal afirmação não é verdadeira. Vamos analisar cada item acima.

(A) Falsa. Considere N (números naturais) como o conjunto universo, A={1} e B={2}. Temos A U B = {1,2} e assim (A U B)^c = {3,4,5,...}. Temos também A^c = {2,3,4,...} e B^c={1,3,4,5,...} e, desse modo, A^c U B^c = {1,2,3,4,5,..} = N. Logo (A U B)^c = A^c U B^c é falsa.

(B) Falsa. Vamos considerar os conjuntos dados no item (A). Assim, A interseção B = vazio e desse modo, (A intersecção B)^c = N. Temos também A^c interseção B^c = {3,4,5,6,...}, ou seja, (A intersecção B)^c não é igual a A^c intersecção B^c.

(C) Verdadeira. Considere x pertencente a (A U B)^c. Sendo assim, x não pertence a A U B e, como consequência disso, x não pertence a A e x não pertence a B. Desse modo, x pertence a A^c e x pertence B^c, o que implica em x pertencer A^c intersecção B^c. Logo (A U B)^c está contido em A^c intersecção B^c. Considere agora x pertencente a A^c intersecção B^c. Assim, x pertence a A^c e x pertence a B^c. Consequentemente, x não pertence a A e x não pertence a B, o que implica em x não pertencer a A U B. Logo x pertence a (A U B)^c. Portanto A^c intersecção B^c está contido em (A U B)^c. Concluímos então que (A U B)^c = A^c intersecção B^c.

(D) Verdadeiro. Seja x pertencente a (A intersecção B)^c, desse modo, x não pertence a A intersecção B. Sendo assim x não pertence a A ou x não pertence a B, o que implica que x pertence a A^c ou x pertence a B^c, isto é, x pertence a A^c U B^c. Logo (A intersecção B)^c está contido em A^c U B^c. Considere agora x pertencente a A^c U B^c. Assim, ou x pertence a A^c ou x pertence a B^c. Desse modo, x não pertence a A ou x não pertence a B, o que implica que x não pertence a A interseção B, logo x pertence a (A intersecção B)^c e, portanto, A^c U B^c está contido em (A intersecção B)^c. Concluímos então que (A intersecção B)^c = A^c U B^c.

(E) Falsa. Seja N o conjunto universo, A = {1,2} e B={2}. Desse modo temos A - B = {1}. Temos também A^c =[3,4,5,...] e, com isso, B interseção A^c = vazio. Portanto A - B não é igual a B intersecção A^c .

Espero ter ajudado. Se tiver mais dúvidas podemos marcar uma aula. Até mais.

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