Como achar o ponto de tangencia entre o circulo de eq. (x-5)²+(y-6)²=5 e a reta 2x-y+1=0

Olá Larrison Ferreira,

A resposta do exercício é  ponto de tangência de coordenadas (3, 7).

Resolução:

Pelo enunciado temos que a equação da circunferência é (x - 5)² + (y - 6)² = 5 e a equação da reta é 2x - y + 1.

Para iniciarmos faremos as seguintes manipulações algébricas:

(x - 5)² + (y - 6)² = 5 →  x² - 10x + 25 + y² - 12y + 36 = 5                                                          I

e

2x – y + 1 = 0   → y = 2x + 1                                                                                                        II

Agora substituindo a equação II em I, obtemos:

x² - 10x + 25 + (2x + 1)² - 12(2x + 1) + 36 = 5       → x² - 10x + 25 + 4x² + 4x +1  - 24x - 12 + 36 = 5   →

→   5x² - 30x + 50 = 5                                              → 5x² - 30x + 45 = 0                                   III

Resolvendo a equação III, obtemos:

Aplicando a forma resolutiva de equação do 2° grau, obtemos:

5x² - 30x + 45 = 0

Aplicando a fórmula resolutiva de equação do 2° grau (Bháskara) encontraremos:

Δ = 0 , logo temos somente uma raiz que será x = 7. 

Voltando na equação II, obtemos:

y = 2x + 1                           → y = 2.3 + 1                                     → y = 6 + 1         → y = 7

Portanto o ponto de tangência é (3,7) .

Espero ter ajudado.