Como resolver essa questão?

No jogo UltraCity cada jogador comanda uma cidade e possui recursos econômicos que podem ser usados para promover melhorias na cidade ou investidos a uma taxa de juros de 8% a.a.


a) Caio controla uma cidade cuja população era de 80.000 pessoas há um ano atrás e atualmente é de 84.000 pessoas. Sabendo que a população cresce exponencialmente, encontre uma função que descreve o tamanho da população dessa cidade ao longo do tempo e calcule quantos anos levará para que a população da cidade seja de 150.000 pessoas.


b) Ele deseja construir um aeroporto nessa cidade, cujo custo é US$ 600.000, mas dispõe de apenas US$ 450.000 para isso. Ele decide, então, investir o dinheiro e aguardar. Encontre uma função exponencial que representa o montante do investimento ao longo do tempo e calcule quanto tempo será necessário para que esse montante seja suficiente para construir o aeroporto.

Lucas E.
Lucas
perguntou há 5 meses

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Professor Geraldo S.
Respondeu há 5 meses


Bom dia.


Esse problema lembra a história dos coelhos e raposas.


A função é exponencial pelo fato que a medida que a população cresce acelera o crescimento devido ao novos produtores. 


a) Primeiro, devemos, com os dados, determinar a taxa de crescimento (i) no tempo (t) dado. Para isso, tomamos a população inicial P(i) e a população após um tempo, P(t).


Assim a taxa é : i = P(t)/P(i) => i = 84000 / 80000 = 1,05. Então, o tempo necessário para que a população P(t) = 150000, pode ser obtida: P(t) = P(i) * i ^t.  Utilizando-se de logarítmo, vem: log [P(t)/P(i)] = t * log i =>  t = log [P(t)/P(i)] / log i.


Que dá como resultado 13 anos.


 


b) Para tanto, consideraremos o Capital final (Cf) = 600.000 e Capital Inicial (Ci) = 450.000 investidos à taxa (j) = 8% a.a= 0,08 . Para sabermos o tempo necessário para atingir o capital desejado, lançamos mão da equação de juros compostos:


Cf = Ci * (1 + j)^t que valendo-se do logaritmo, temos t = 3 anos e 9 meses. Dependendo do período de capitalização, talvez sejam necessários 4 anos.


Espero ter ajudado.


 

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