Como resolver esse exercício dx sobre = √x²+9

Para resolver a integral $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+9}}$, você pode usar uma substituição trigonométrica. Esta é uma técnica comum para integrar expressões que envolvem radicais quadráticos.

Passos para resolver:

1. Substituição trigonométrica:
   Use a substituição (x = 3 \tan(\theta)). Assim, (dx = 3 \sec^2(\theta) d\theta).

2. Substitua na integral:
   A expressão $\sqrt{x^2+9}$ se transforma em (\sqrt{9 \tan^2(\theta) + 9} = \sqrt{9(\tan^2(\theta) + 1)} = 3\sec(\theta)), já que (\tan^2(\theta) + 1 = \sec^2(\theta)).

A integral então se torna:
$$\int \frac{3{\sec }^2(\theta )d\theta }{3\sec (\theta )}=\int \sec (\theta )d\theta$$

1. Integre:
   A integral (\int \sec(\theta) d\theta) é uma integral conhecida e resulta em (\ln |\sec(\theta) + \tan(\theta)| + C), onde $C$ é a constante de integração.

2. Retorne à variável original:
   Você deve converter $\theta$ de volta em termos de $x$. Como (x = 3 \tan(\theta)), temos (\tan(\theta) = \frac{x}{3}) e (\sec(\theta) = \sqrt{1 + \tan^2(\theta)} = \sqrt{1 + \left(\frac{x}{3}\right)^2} = \frac{\sqrt{x^2 + 9}}{3}).

Logo, (\sec(\theta) + \tan(\theta) = \frac{\sqrt{x^2 + 9}}{3} + \frac{x}{3}).

1. Resultado final:
   Substitua de volta para obter a resposta na forma original:
   $$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+9}}=\ln |\frac{\sqrt{x^2+9}}{3}+\frac{x}{3}|+C$$

Isso é equivalente a:
$$\ln |\sqrt{x^2+9}+x|+C$$

E esse é o resultado final da integral.