como resolvo e determino os coeficiente a,b e c da equação (k+1) x² -2kx=0 ?

Bom dia Bruna Daniele, Uma equação do segundo grau é escrita, de maneira geral, como ax² + bx + c = 0 => (k+1)x² -2kx = 0 Neste caso, temos que a = k+1 b = -2k c = 0 Agora para determinar os valores de k, e consequentemente, a e b, depende do número de soluções pertencentes ao conjunto dos Números Reais que desejamos ter. Ou seja, depende do valor do Discriminante (o famoso DELTA): Se DELTA > 0 Então DELTA = b² - 4 ac => DELTA = (-2k)² = 4k² > 0 Portanto k > 0 Se DELTA = 0, então k = 0 Neste caso, não podemos ter DELTA < 0, pois 4k² é sempre maior ou igual a 0 para valores pertencentes ao conjunto dos Números Reais. Solução da equação: Assim a equação do segundo grau é incompleta e podemos resolver colocando o fator comum x em evidência, ou seja (k+1)x² -2kx = 0 x( (k+1)x - 2k ) = 0 Temos que x = 0 ou (k+1)x - 2k = 0 => x = 2k/(k+1). Espero ter ajudado.

Se você quiser o valor exato de k, então está faltando informação, pois aí poderíamos resolver pelas Relações de Girard (soma das raízes S = -b/a e produto das raízes P = c/a)

Caso seja somente isso, a única coisa que podemos fazer é:
ax² + bx + c = 0
Então a = k +1, b = -2k e c = 0.
Para que essa equação seja necessariamente do 2º grau, "a" precisa ser diferente de zero. Então:
a ≠ 0 => k + 1 ≠ 0 => k ≠ -1

Se a você quiser os valores de k de modo que as raízes da equação sejam reais e distintas, então faça Δ > 0, onde Δ = b² - 4ac
(-2k)² -4(k+1)(0) > 0  => 4k² > 0  => k > 0

Se a você quiser os valores de k de modo que as raízes da equação sejam reais e iguais, então faça Δ = 0, onde Δ = b² - 4ac

(-2k)² -4(k+1)(0) = 0  => 4k² = 0  => k = 0

Se você quiser relacionar as raízes da equação com os valores de k, então coloque x em evidência:

x[(k + 1)x - 2k] = 0

x₁ = 0 e x₂ = 2k/(k+1)

Perceba que pelas Relações de Girard:

S = x₁ + x₂ = -b/a = 0 + 2k/(k+1) = 2k/(k+1)

P = x_{1 *} x₂ = c/a = 0/[2k/(k+1)] = 0

Espero ter ajudado.