Congruência - ensino superior

Matemática Resolução de problemas Ensino Superior Números

Resolver o seguinte sistema:
x ≡ 1 (mod 2)
x ≡ 2 (mod 3)
x ≡ 5 (mod 7)

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1 resposta

Das duas primeiras sentenças temos que x = 2k+1 e x = 3l+2 para k e l números inteiros. Então k = (3l+1)/2 = l + (l+1)/2. Como k é um número inteiro então l só pode ser ímpar, digamos l = 2j+1. Portanto, x = 3(2j+1) +2 = 6j + 5. Da terceira afirmação do enunciado temos que x = 7n+5. Então Então 6j+5 = 7n+5 e 6j=7n. Logo, j = 7n/ 6 = n + n/6. Como j é inteiro devemos ter que n é múltiplo de 6, digamos n = 6r. Logo x = 7(6r) + 5 = 42r +5. Portanto, o conjunto solução é formado pelos números da forma 42r+5, ou seja, x é congruo a 5 módulo 42.

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