Considere a, b, c e d, definidos por: A= 1/4 + 1/16 + 1/304

Para determinar o menor valor positivo de $n$, tal que $na$, $nb$, $nc$ e $nd$ são inteiros, precisamos encontrar o mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores de cada uma das expressões $A$, $B$, $C$ e $D$.

Vamos calcular o MMC dos denominadores:

1. Para $A=\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{304}$:
2. Os denominadores são 4, 16, e 304.
3. Fatoração:
   • $4=2^2$
   • $16=2^4$
   • $304=2^4\times 19$

4. MMC(4, 16, 304) = $2^4\times 19=304$

5. Para $B=\frac{1}{7}+\frac{1}{67}+\frac{1}{8911}$:

6. Os denominadores são 7, 67, e 8911.
7. Fatoração:
   • $7,67$ são primos.
   • $8911$ é primo.

8. MMC(7, 67, 8911) = $7\times 67\times 8911$

9. Para $C=\frac{1}{3}+\frac{1}{29}+\frac{1}{1653}$:

10. Os denominadores são 3, 29, e 1653.
11. Fatoração:
    • $3,29$ são primos.
    • Fatorando 1653, obtemos $1653=3\times 29\times 19$

12. MMC(3, 29, 1653) = $3\times 29\times 19=1653$

13. Para $D=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{26}+\frac{1}{988}$:

14. Os denominadores são 2, 4, 26, e 988.
15. Fatoração:
    • $2=2$, $4=2^2$
    • $26=2\times 13$
    • $988=2^2\times 13\times 19$
16. MMC(2, 4, 26, 988) = $2^2\times 13\times 19=988$

Agora, calculamos o MMC dos resultados obtidos: - MMC(304, $7\times 67\times 8911$, 1653, 988)

• Devemos encontrar a fatoração de cada valor:

  • $304=2^4\times 19$
  • $7\times 67\times 8911$ é composto por fatores primos distintos.
  • $1653=3\times 29\times 19$
  • $988=2^2\times 13\times 19$

• De todos os possíveis fatores envolvidos, incluímos os primos:

• $2^4$ (do denominador 304)
• o maior fator primo individual 8911
• $67$
• $19$
• $3$
• $29$
• $13$

Finalmente, o $n$, que é o MMC de todos os denominadores, será:
$$n=2^4\times 3\times 7\times 13\times 19\times 29\times 67\times 8911$$

Este MMC é o menor valor positivo que, multiplicado por $a$, $b$, $c$ e $d$, resultará em números inteiros.