Considere a equação diferencial y' + xy = x,x real
Sabendo que y(0) = 0 o valor de y''(1) é
A) 0
B) -1
C) 1 - e^-1/2
D) e^-1/2
E) 1
Olá Marcos,
A equação diferencial pode ser reescrita na forma
O lado esquerdo da igualdade pode ser resolvido fazendo a seguinte mudança de variável
Usando desse resultado em I,
em que C1 é a soma de C mais a constante de integração do lado direito da igualdade de I. A expressão anterior pode ser reescrita como
O que nos leva a
Utilizando y(0) = 0 na primeira expressão,
Analogamente para a segunda expressão,
Como o termo exponencial nunca será negativo, não há valor de C1 que torne a expressão nula. Portanto, a solução da equação diferencial é
Derivando essa expressão duas vezes,
Portanto, y''(1) = 0. Assim, a alternativa correta é a A.
Espero que seja útil. :)
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