Considere a função f(x) = ax², sendo a um número real não nulo. Se (0,0) é o ponto do gráfico de f(x) cujo quadrado da distância ao ponto (0,2) é mínimo,

Oi, Juliana. Esta é mais uma questão de otimização, onde você vai precisar usar seus conhecimentos sobre máximos e mínimos de funções de 2º grau.

Ma antes, tem um pouquinho de geometria analítica, envolvendo distância entre dois pontos. Esta fórmula vc deve saber e é dada pelo teorema de Pitágoras: d² = (x1-x2)² + (y1-y2)² , onde x1, y1 e x2, y2 são as coordenadas dos pontos P1 e P2. Então montando a função que vai me dar a distância de qualquer ponto ao ponto (0,2), temos:

d² = (x-0)² + (y-2)²
d² = x² + y² - 4y + 4

Para pontos sobre a curva f(x) = ax². temos que y = ax². Substituindo:

d² = x² + a²x^4 - 4ax² + 4

Organizando:

d² = a²(x²)² + (1-4a)x² + 4

Temos uma função de 2º grau, onde d² é uma função de x² e a1 = a² , b = (1-4a) e c = 4 (para não confundir os dois "a", pois um é o coeficiente da função d² e outro é o da primeira função que estava no enunciado , chamei de a1 ).

Agora, aplicando o teorema de máximos e mínimos, sabemos que a abscissa do ponto mínimo ou seja, do vértice da parábola que representa a função d², é dada por Xv = -b/2a1 . E este valor mínimo , ou seja, a ordenada do vértice, é dado por Yv=-delta/4a1. Sabemos que ele ocorre quando x²=0 (pois foi dado no enunciado que temos d² mínimo no ponto (0,0) de f(x)=ax²). Então Xv=0.

Xv = -b/2a1
0 = -(1-4a)/2a²
0= -1+4a --> a = 1/4

Espero ter ajudado. Até mais!