Olá, Kathianny. Tudo bem?
Bom, primeiro precisamos nos convencer de que a derivada de f existe em todo o intervalo de 0 a π/2. É fácil de ver isso pois se trata de uma função contínua que não apresenta nenhum comportamento "ruim" (isso é, que impediria a diferenciabilidade de f), como algum "bico", por exemplo.
Feito isso, podemos proceder da seguinte maneira para determinar os valores máximo e mínimo:
- Determinamos todos os valores de x em que a derivada se anula.
- Juntamos esses valores com os extremos do intervalo, que é fechado.
Esse procedimento nos dará todos os CANDIDATOS a máximo e mínimo de f em [0,π/2]. Finalmente, testamos um a um dos candidatos e vemos qual o valor de f em cada um deles. Esse método só funciona se a função possui as propriedades que verificamos acima!
Calculando a derivada de f, obtemos:
f'(x) = [-7cos x(4 + sin x) - (2 - 7sin x)cos x]/(4+ sin x)^2
Mas note que para determinar os pontos em que f' se anula, que nos dará os candidatos a máximo e mínimo relativos, basta verificarmos quando o NUMERADOR se anula, pois o denominador nunca o fará nesse intervalo. Ou seja, impondo f'(x) = 0:
7cos x (4 + sin x) = (7sin x - 2)cos x
O único ponto em que cos x se anula é na extremidade do intervalo, π/2. Como ele será olhado depois, "corta-se" cos x dos dois lados o que nos leva:
7(4 + sin x) = (7 sin x - 2)
O que nos leva a um absurdo. Portanto, podemos concluir que f'(x) não se anula no interior do intervalo.
Ou seja, os CANDIDATOS a máximo e mínimo são apenas as extremidades do intervalo, 0 e π/2!
Assim, fazendo as contas:
f(0) = 1/2, f(π/2) = -1
Portanto, 1/2 é o valor máximo e -1 é o valor mínimo de f em [0,π/2]
Se alguma parte não tiver ficado clara, me avise que tento explicar de outra maneira.
Espero ter ajudado. Abraço!
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