considere a função quadratica y=x² - 4x + 5, seja N o número de pontos, com coordenadas inteiras, pertencentes ao gráfico dessa função e que acima da reta y=2 e abaixo da reta y=10. O valor de N é:
Olá, Luana. Tudo bem?
Essa dúvida já foi colocada aqui, então foi copiar a resposta, tudo bem?
Vamos fazer um esboço do gráfico da função quadrática (parábola) para usar como referência:
http://postimg.org/image/4tb0ewe0r/
Desculpa, desenho não é meu forte. Se não tiver ficado claro, me avise que tentarei fazer um melhor.
Não sabemos exatamente em que pontos o gráfico da função intercepta as retas y = 10 e y = 2. Vamos chamar as abscissas desses pontos de x1, x2, x3, x4 (veja as posições delas no desenho!)
Se conseguirmos determinar esses valores, os pontos que procuramos serão aqueles que serão inteiros e terão valores de x entre x3 e x1 ou entre x2 e x4.
Para achá-los, basta calcularmos os valores de x dos pontos em que o gráfico intercepta as retas por meio da expressão y = x^2 - 4x + 5 = 2 e y = x^2 - 4x + 5 = 10.
Ou seja, basta resolvermos as equações do 2º (Pela fórmula de Bháskara ou como achar melhor):
x^2 - 4x + 5 = 2 -> x^2 - 4x + 3 = 0 (i)
x^2 - 4x + 5 = 10 -> x^2 - 4x - 5 = 0 (ii)
O que nos dá os seguintes valores:
(i) x1, x2 (pontos de intersecção com y = 2) = 1, 3
(i) x3, x4 (pontos de intersecção com y = 10) = -1, 5
Finalmente, quantos valores inteiros existem entre x2 e x4 (3 e 5 respec.)? R: 1, o inteiro 4.
E entre x3 e x1 (-1 e 1 respec.)? R: 1, o inteiro 0.
Se quiser, substitua os valores 0 e 2 na expressão da função e verifique que, de fato, y estará entre 2 e 10
Portanto, N = 2.
Espero não ter ficado confuso. Se não estiver, me avise que tento explicar de outro jeito.
Espero ter ajudado.
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