Considere o espaço vetorial R2 e as bases B = { V1, V2 } e B

Para resolver a questão, precisamos calcular a matriz de mudança de base de $B=\{{𝐯}_1,{𝐯}_2\}$ para $B^{\prime }=\{{𝐰}_1,{𝐰}_2\}$ e então usá-la para achar as coordenadas de um vetor na base $B$ a partir de suas coordenadas na base $B^{\prime }$.

Vamos resolver passo a passo:

a) Encontrar a matriz de mudança de base de $B$ para $B^{\prime }$.

A matriz de mudança de base de $B$ para $B^{\prime }$ é composta pelas coordenadas dos vetores da base $B$ em relação à base $B^{\prime }$. Ou seja, precisamos resolver os sistemas lineares para expressar ${𝐯}_1$ e ${𝐯}_2$ como combinações lineares dos vetores ${𝐰}_1$ e ${𝐰}_2$.

Passo 1: Expressar ${𝐯}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$ em termos de ${𝐰}_1=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)$ e ${𝐰}_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$.

Resolvemos o sistema:

Equações do sistema:

1. $3c_1=1$
2. $c_1+c_2=2$

Da primeira equação, $c_1=\frac{1}{3}$.

Substituindo na segunda equação:

Portanto, para ${𝐯}_1$ temos $c_1=\frac{1}{3},c_2=\frac{5}{3}$.

Passo 2: Expressar ${𝐯}_2=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)$ em termos de ${𝐰}_1$ e ${𝐰}_2$.

Visivelmente, ${𝐯}_2$ é igual a ${𝐰}_1$, o que implica $d_1=1$ e $d_2=0$.

Assim, a matriz de mudança de base de $B$ para $B^{\prime }$ é:

b) Use a matriz de mudança de base para determinar as coordenadas de um vetor $𝐯$ na base $B$.

Dado que as coordenadas na base $B^{\prime }$ são $\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)$, aplique a matriz inversa de $P_{B\to B^{\prime }}$ para encontrar as coordenadas na base $B$.

Primeiro, calculamos a inversa de $P_{B\to B^{\prime }}$:

Determinante de $P_{B\to B^{\prime }}$:

A inversa $P_{B^{\prime }\to B}$ é:

Multiplicamos pelas coordenadas:

Portanto, as coordenadas do vetor $𝐯$ na base $B$ são $\left(\begin{array}{c}3\\ -\frac{23}{5}\end{array}\right)$.