Considere o espaço vetorial R2 e as bases B = { V1, V2 } e B

Para resolver esta questão, devemos encontrar a matriz de mudança de base que transforma as coordenadas de um vetor da base $B$ para a base $B^{\prime }$ e, em seguida, usar essa matriz para converter um vetor de coordenadas na base $B^{\prime }$ para a base $B$.

a) Encontrar a matriz de mudança de base

Base $B=\{{𝐯}_1,{𝐯}_2\}$: - ${𝐯}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$ - ${𝐯}_2=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)$

Base $B^{\prime }=\{{𝐰}_1,{𝐰}_2\}$: - ${𝐰}_1=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)$ - ${𝐰}_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$

Para encontrar a matriz de mudança de base da base $B$ para a base $B^{\prime }$, expressamos os vetores da base $B$ como combinações lineares dos vetores da base $B^{\prime }$. Ou seja, escrevemos:

Resolvemos essas equações para encontrar os parâmetros.

1. Para ${𝐯}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$:
   $$1=3a_{11}$$

Resolvendo as equações acima: - $a_{11}=\frac{1}{3}$ - $a_{12}=\frac{5}{3}$

1. Para ${𝐯}_2=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)$:
   $$3=3a_{21}$$

Resolvendo as equações acima: - $a_{21}=1$ - $a_{22}=0$

Então, a matriz de mudança de base de $B$ para $B^{\prime }$, $P_{B\to B^{\prime }}$, é:

b) Determinar as coordenadas de um vetor na base $B$

Dado que as coordenadas de um vetor na base $B^{\prime }$ são $\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)$, queremos encontrar suas coordenadas na base $B$.

Podemos fazê-lo multiplicando a inversa da matriz de mudança de base que encontramos:

Calculando a inversa da matriz $P_{B\to B^{\prime }}$:

Multiplicando isso pelas coordenadas na base $B^{\prime }$:

Assim, as coordenadas do vetor na base $B$ são $\left(\begin{array}{c}3\\ \frac{1}{3}\end{array}\right)$.