considere uma produção dada pela função P (kiL) =K¾×L¼ onde

Question

considere uma produção dada pela função P (kiL) =K¾×L¼ onde K é o capital investido em infra estrutura e máquinas e L é o capital investido em trabalho ambas medidas em meticais. Calcule quanto deve se investido em cada sector para conseguir a produção máxima se o total de dinheiro disponível para investimento é 100.000,00. qual é o resultado? De quanto aumentará aproximadamente caso total do dinheiro disponível para investimento aumente em 1mt

Profes A. · Accepted Answer

Para resolver esse problema, precisamos primeiro maximizar a função de produção $P (K, L) = K^{\frac{3}{4}} \times L^{\frac{1}{4}}$ dado o orçamento limitado a 100.000 meticais, ou seja, $K + L = 100.000$ .

Passo 1: Maximização da Função de Produção

Para maximizar $P (K, L)$ sujeito a $K + L = 100.000$ , podemos usar o método dos multiplicadores de Lagrange. Definimos o Lagrangeano $ℒ$ :

ℒ (K, L, λ) = K^{\frac{3}{4}} \times L^{\frac{1}{4}} + λ (100.000 - K - L)

Derivamos $ℒ$ com respeito a $K$ , $L$ e $λ$ e igualamos a zero para encontrar os pontos críticos:

$\frac{\partial ℒ}{\partial K} = \frac{3}{4} K^{- \frac{1}{4}} L^{\frac{1}{4}} - λ = 0$
$\frac{\partial ℒ}{\partial L} = \frac{1}{4} K^{\frac{3}{4}} L^{- \frac{3}{4}} - λ = 0$
$\frac{\partial ℒ}{\partial λ} = 100.000 - K - L = 0$

Da igualdade (1) e (2):

\frac{3}{4} K^{- \frac{1}{4}} L^{\frac{1}{4}} = \frac{1}{4} K^{\frac{3}{4}} L^{- \frac{3}{4}}

Simplificando, obtemos:

3 L = K \Rightarrow K = 3 L

Passo 2: Substituindo na Restrição Orçamentária

Substituímos $K = 3 L$ na restrição orçamentária:

3 L + L = 100.000 \Rightarrow 4 L = 100.000 \Rightarrow L = 25.000

Agora substituímos $L = 25.000$ em $K = 3 L$ :

K = 3 \times 25.000 = 75.000

Passo 3: Verificando o Valor da Produção

A produção máxima é obtida com:

P (75.000, 25.000) = {75.000}^{\frac{3}{4}} \times {25.000}^{\frac{1}{4}}

Passo 4: Análise de Sensibilidade

Para ver de quanto aumentará a produção com um aumento marginal no orçamento, calculamos o multiplicador de Lagrange $λ$ , que representa a taxa de variação da função objetivo em relação a variações no valor da restrição.

Pelas equações:

λ = \frac{3}{4} K^{- \frac{1}{4}} L^{\frac{1}{4}} = \frac{1}{4} K^{\frac{3}{4}} L^{- \frac{3}{4}}

Usando os valores obtidos:

Calculamos o valor numérico de $λ$ usando qualquer uma das equações, dada a simetria no problema. Esse valor indica aproximadamente quanto $ℒ$ (ou $P$ ) aumentará com unidades adicionais investidas.

Conclusão: Os investimentos ótimos são 75.000 meticais em capital e 25.000 meticais em trabalho, com um ajuste marginal indicado por $λ$ para aumentos no orçamento.

considere uma produção dada pela função P (kiL) =K¾×L¼ onde

Passo 1: Maximização da Função de Produção

Passo 2: Substituindo na Restrição Orçamentária

Passo 3: Verificando o Valor da Produção

Passo 4: Análise de Sensibilidade

Envie suas dúvidas pelo App. Baixe agora

Precisa de outra solução? Conheça