Contagem das soluções inteiras não negativas da equação

O número de soluções inteiras e não negativas da equação x1 + x2 + ... + xn = p é igual a 

 Calcular o número de soluções inteiras e não negativas da equação x1 + x2 + x3 = 4. Para resolver, podemos listar todas as soluções e contar quantas são. A tabela mostra que a equação possui 15 soluções inteiras e não negativas.

Porém, se tivéssemos que contar “na mão” o resultado para a equação x1 + x2 + x3 + x4 = 8, por exemplo, com certeza o processo seria trabalhoso demais. Assim, uma maneira prática para resolver esse tipo de problema é o que mostramos a seguir, considerando novamente a equação x1 + x2 + x3 = 4. Podemos representar cada uma das soluções anteriores como na tabela. Note que cada sinal “+” tem a função de separar as quantidades relativas para x1, x2 e x3. Também é possível observar o seguinte: todas as soluções representadas são anagramas da “palavra”····++, ou seja, uma palavra de 6 letras, sendo 4 do tipo “·” e 2 do tipo “+”.

Assim, o número de anagramas dessa palavra é igual a = 15, que confere com a listagem que fizemos. No outro exemplo acima: “qual o número de soluções inteiras e não negativas da equação x1 + x2 + x3 + x4 = 8?”, temos que o número de soluções será igual ao número de anagramas da palavra ········+++, que é igual a: =  = 165.