Coordenadas na reta

Boa noite João Augusto. Vamos para a resolução deste problema. (i) Temos por hipótese que |f(x) - f(y)| = |x - y| para todos x,y em R. Temos também por hipótese que f(0)=a e que a função g é definida por g(x) = f(x)-a, ou ainda, f(x) = g(x)+a. Na primeira igualdade, tomando y=0 e um x qualquer, temos |f(x) - f(0)| = |x - 0|, que implica em |g(x)+a - a| = |x| e, por sua vez, implica em |g(x)|=|x|. Agora, considerando x=1, obtemos |g(1)| = |1| = 1. Sendo assim, g(1)=1 ou g(1)=-1. (ii) Acredito que a identidade correta seja xy =1/2 [x^2+y^2-(x-y)^2]. Do item (i) temos que |g(x)| = |x| e que |x-y| = |f(x) - f(y)| = |g(x)+a - (g(y)+a)| = |g(x)+a-g(y)-a| = |g(x)-g(y)|. Usando essas duas últimas igualdades, temos xy =1/2 [x^2+y^2-(x-y)^2] =1/2[|x|^2+|y|^2-|x-y|^2] = 1/2[|g(x)|^2+|g(y)|^2-|g(x)-g(y)|^2] = 1/2[g(x)^2+g(y)^2-(g(x)-g(y))^2] = 1/2[g(x)^2+g(y)^2-g(x)^2+2g(x)g(y)-g(y)^2] = 1/2 x 2g(x)g(y) = g(x)g(y). (iii) Do item (ii) temos que xy = g(x)g(y). Se g(1)=1 e considerando um x qualquer e y=1 temos g(x)g(1) = x1, ou seja, g(x) = x. Se g(1)=-1, considerando um x qualquer e y=1 temos, g(x)g(1) = x(-1), isto é, g(x)=-x. (iv) No item (i) a função g foi definida como g(x) = f(x)-a, ou de modo equivalente, f(x) = g(x)+a. No item (iii) provamos que g(x)=x ou que g(x)=-x. Logo f(x) = x+a ou f(x) = -x+a. Espero ter ajudado. Se precisar de mais ajuda, podemos marcar uma aula. Até mais.