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a) Encontrar a equação da reta r, que é a interseção dos planos:
2x - y + 7 = 0 (equação 1)
x + y - z + 2 = 0 (equação 2)
Resolvendo o sistema de equações, teríamos:
Somando as duas equações, obtemos: 3x - z + 9 = 0.
Rearranjando, obtemos: z = 3x + 9.
Substituímos z na equação 2 e obtemos:
x + y - (3x + 9) + 2 = 0,
Que simplifica para: y = 2x - 7.
Agora temos as equações paramétricas da reta r:
x = t
y = 2t - 7
z = 3t + 9
A forma vetorial da reta é dada por X = X0 + t*v, onde X0 é um ponto na reta, v é um vetor direção, e t é um parâmetro. Pegamos t = 0 como um exemplo, obtemos o ponto X0 = (-7, 9). O vetor direção v pode ser obtido a partir das equações paramétricas, v = (1, 2, 3). Assim, a forma vetorial da reta é X = (-7, 9, 0) + t*(1, 2, 3).
b) A distância entre o ponto A(1, 1, 1) e a linha r é dada pelo vetor entre A e um ponto em r, digamos B(t0), e o vetor direção da linha. Seja B(t0) o ponto na linha r mais próximo do ponto A. Então, o vetor AB é perpendicular ao vetor direção da linha r.
c) Para determinar a relação entre a linha r e a linha t, precisamos comparar seus vetores direção. Se os vetores direção são múltiplos um do outro, as linhas são paralelas. Caso contrário, as linhas são inclinadas. O vetor direção da linha t é (1, 2, 0). Como esse vetor não é um múltiplo do vetor direção da linha r, as linhas são inclinadas uma em relação à outra.