Dados dois pontos A e B. A elipse é o conjunto de pontos P, cujas distancias somadas AP e PB resulta em um valor constante 2a. A partir dessa definição, deduza a equação da elipse, assumindo A = (-b,0) e B = (b,0). Encontre pelo menos uma aplicação desse resultado.
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Cheguemos na equação.
Seja um ponto satisfazendo a propriedade descrita, ou seja,
. (***)
Elevando-se ao quadrado e isolando o radical que permanece, obtemos
, (**)
donde elevando mais uma vez quadrado e simplificando, nos leva a
, ou seja,
, (*)
que é a equação procurada. (Nota: É subentendido que , pois do contrário não temos uma elipse.)
É importante entender que esse é metade do trabalho: Mostramos que um ponto que satisfaz a propriedade deve satisfazer a equação (*), mas também devemos mostrar a outra direção, que um ponto satisfazendo (*) também respeita a propriedade de distâncias da equação original. Isso que significa dizer que a equação descreve a elipse.
Basta verificar que as implicações podem ser revertidas. As que merecem atenção são as direções contrárias da operação de elevar ao quadrado, onde deve-se justificar que não obtemos um sinal de - na frente do radical (em (**) e (***)).
A equação (*) nos dá e , donde . Isso mostra que vale a implicação reversa em (**). E por fim, a implicação de (**) para (***) se justifica pelo fato de .
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Olá Maxmiller.
Em Saúde:
Dispositivo de iluminação dos dentistas. Este consiste num espelho com a forma de um arco de elipse e numa lâmpada que se coloca no foco mais próximo. A luz da lâmpada é concentrada pelo espelho no outro foco, ajustando-se o dispositivo de forma a iluminar o ponto desejado.
Em Acústica:
Em salas que têm a forma de meio elipsóide (um elipsóide é um sólido que se obtém rodando uma elipse em torno do seu eixo, isto é, da recta definida pelos dois focos). Se duas pessoas se colocarem nos focos e uma delas falar, mesmo que seja baixo, a outra ouvirá perfeitamente, ainda que a sala seja grande e haja outros ruídos. Existem salas deste tipo (às vezes chamadas “galerias de murmúrios”) em vários edifícios públicos na Europa e nos Estados Unidos
Bons estudos.
Fonte: http://www.mat.uc.pt/~jfqueiro/aplicacoes.pdf
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