Dados dois pontos a e b...

Olá Maxmiller.

Em Saúde:
Dispositivo de iluminação dos dentistas. Este consiste num espelho com a forma de um arco de elipse e numa lâmpada que se coloca no foco mais próximo. A luz da lâmpada é concentrada pelo espelho no outro foco, ajustando-se o dispositivo de forma a iluminar o ponto desejado.

Em Acústica:
Em salas que têm a forma de meio elipsóide (um elipsóide é um sólido que se obtém rodando uma elipse em torno do seu eixo, isto é, da recta definida pelos dois focos). Se duas pessoas se colocarem nos focos e uma delas falar, mesmo que seja baixo, a outra ouvirá perfeitamente, ainda que a sala seja grande e haja outros ruídos. Existem salas deste tipo (às vezes chamadas “galerias de murmúrios”) em vários edifícios públicos na Europa e nos Estados Unidos

Bons estudos.

Fonte: http://www.mat.uc.pt/~jfqueiro/aplicacoes.pdf

Cheguemos na equação.

Seja  um ponto satisfazendo a propriedade descrita, ou seja, 

. (***)

Elevando-se ao quadrado e isolando o radical que permanece, obtemos

, (**)

donde elevando mais uma vez quadrado e simplificando, nos leva a


, ou seja,


, (*)

que é a equação procurada.  (Nota: É subentendido que , pois do contrário não temos uma elipse.)


É importante entender que esse é metade do trabalho: Mostramos que um ponto  que satisfaz a propriedade deve satisfazer a equação (*), mas também devemos mostrar a outra direção, que um ponto  satisfazendo (*) também respeita a propriedade de distâncias da equação original. Isso que significa dizer que a equação descreve a elipse. 
Basta verificar que as implicações podem ser revertidas. As que merecem atenção são as direções contrárias da operação de elevar ao quadrado, onde deve-se justificar que não obtemos um sinal de - na frente do radical (em (**) e (***)).
A equação (*) nos dá  e , donde . Isso mostra que vale a implicação reversa em (**). E por fim, a implicação de (**) para (***) se justifica pelo fato de .