Dados dois pontos a e b...

Matemática Ensino Superior Álgebra

Dados dois pontos A e B. A elipse é o conjunto de pontos P, cujas distancias somadas AP e PB resulta em um valor constante 2a. A partir dessa definição, deduza a equação da elipse, assumindo A = (-b,0) e B = (b,0). Encontre pelo menos uma aplicação desse resultado.

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Maxmiller perguntou há 4 anos

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Professor Lucas G.
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Respondeu há 4 anos
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Cheguemos na equação.

Seja P = (x, y) \in \mathbb{R}^2 um ponto satisfazendo a propriedade descrita, ou seja, 

\sqrt{(x+b)^2+y^2} + \sqrt{(x-b)^2+y^2} = 2a. (***)

Elevando-se ao quadrado e isolando o radical que permanece, obtemos

2\sqrt{((x+b)^2+y^2)((x-b)^2+y^2)} = 4a^2 - (x+b)^2 - (x-b)^2 - 2y^2, (**)

donde elevando mais uma vez quadrado e simplificando, nos leva a


-a^4 + a^2 b^2 + a^2 x^2 + a^2 y^2 - b^2 x^2 = 0, ou seja,


\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{a^2-b^2} = 1, (*)

que é a equação procurada.  (Nota: É subentendido que 0 < b < a, pois do contrário não temos uma elipse.)


É importante entender que esse é metade do trabalho: Mostramos que um ponto P que satisfaz a propriedade deve satisfazer a equação (*), mas também devemos mostrar a outra direção, que um ponto P = (x, y) satisfazendo (*) também respeita a propriedade de distâncias da equação original. Isso que significa dizer que a equação descreve a elipse. 
Basta verificar que as implicações podem ser revertidas. As que merecem atenção são as direções contrárias da operação de elevar ao quadrado, onde deve-se justificar que não obtemos um sinal de - na frente do radical (em (**) e (***)).
A equação (*) nos dá 1 \ge \dfrac{x^2}{a^2} e 1 \ge \dfrac{y^2}{a^2-b^2}, donde x^2+y^2 \le a^2 + (a^2-b^2) = 2a^2 - b^2 \le 2a^2 \ \Rightarrow\ 4a^2 - (x+b)^2 - (x-b)^2 \ge 0. Isso mostra que vale a implicação reversa em (**). E por fim, a implicação de (**) para (***) se justifica pelo fato de 2a \ge 0

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Professor Marcos F.
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Respondeu há 4 anos

Olá Maxmiller.

Em Saúde:
Dispositivo de iluminação dos dentistas. Este consiste num espelho com a forma de um arco de elipse e numa lâmpada que se coloca no foco mais próximo. A luz da lâmpada é concentrada pelo espelho no outro foco, ajustando-se o dispositivo de forma a iluminar o ponto desejado.

Em Acústica:
Em salas que têm a forma de meio elipsóide (um elipsóide é um sólido que se obtém rodando uma elipse em torno do seu eixo, isto é, da recta definida pelos dois focos). Se duas pessoas se colocarem nos focos e uma delas falar, mesmo que seja baixo, a outra ouvirá perfeitamente, ainda que a sala seja grande e haja outros ruídos. Existem salas deste tipo (às vezes chamadas “galerias de murmúrios”) em vários edifícios públicos na Europa e nos Estados Unidos

Bons estudos.

Fonte: http://www.mat.uc.pt/~jfqueiro/aplicacoes.pdf


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