Como x = 4 é uma raiz do polinômio, isso significa que ele é divisível por (x - 4), pra encontrar o polinômio que resulta dessa divisão de p(x) por (x - 4), usamos Briot-Ruffini:
| 4 | 1 | -8 | 29 | 59 |
| 1 | -4 | 13 | -7 |
Bom, como pode ver o resto não deu 0 (deu -7), o que significa que na verdade 4 não é raiz de p(x). Eu vou supor que houve um erro de digitação e que o polinômio é na verdade p(x) = x³ - 8x² + 29x - 52 . Neste caso:
| 4 | 1 | -8 | 29 | 52 |
| 1 | -4 | 13 | 0 |
Assim, obtemos
Encontrando as raízes de x² - 4x + 13 pela fórmula de Báskara, obtemos
Finalmente,
Uma equação de terceiro grau tem 3 raízes e, na forma decomposta tem a seguinte estrutura:
(x - a)(x - b)(x - c) = 0
Em que a, b e c são as raízes da equação.
Portanto, de acordo com a equação dada:
p(x) = x³ - 8x² + 29x - 59
(x - 4)(x - b)(x - c) = 0
Um dos requisitos para que um número seja raiz de uma equação é que, quando houver a substituição nessa equação o resultado seja 0.
Ou seja:
4³ - 8 * 4² + 29 * 4 - 59 = 0
64 - 128 + 116 - 59 = 0
- 7 = 0
Portanto, diferente do que a questão afirma, 4 não é raiz da equação.
Mesmo assim, vou seguir a resolução:
O próximo passo seria encontrar as outras raízes. Para isso, divide-se o polinômio por (x - 4)
x³ - 8x² + 29x - 59 |__x - 4___
-(x³ - 4x²) x² - 4x + 13
0x³ - 4x² + 28x
-(-4x² + 16x)
0x² + 13x - 59
-(13x - 52)
0x - 7
Para que fosse raiz da equação, o resto deveria ser 0.
Caso a raiz fosse correta, bastaria encontrar as raízes de x² - 4x + 13 por Bháskara e colocá-las na forma de polinômio, ou repetir o processo de divisão realizado acima.
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