decompor, em função de suas raízes, o polinomio: p(x)= x^4-7

Para decompor o polinômio $p(x)=x^4-7x^3+7x-12$ em função de suas raízes, precisamos primeiro encontrar suas raízes. Podemos tentar encontrar as raízes racionais usando o Teorema do Racional de Cauchy, que sugere que as raízes racionais são da forma $\frac{p}{q}$, onde $p$ é um divisor do termo independente (neste caso, $-12$) e $q$ é um divisor do coeficiente do termo de maior grau (neste caso, $1$).

Os divisores de $-12$ são: $\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 4,\pm 6,\pm 12$.

Vamos tentar algumas dessas possíveis raízes:

1. Para $x=1$:
   $$p(1)=1^4-7·1^3+7·1-12=1-7+7-12=-11$$

Não é raiz.

1. Para $x=-1$:
   $$p(-1)=(-1{)}^4-7·(-1{)}^3+7·(-1)-12=1+7-7-12=-11$$

Não é raiz.

1. Para $x=2$:
   $$p(2)=2^4-7·2^3+7·2-12=16-56+14-12=-38$$

Não é raiz.

1. Para $x=-2$:
   $$p(-2)=(-2{)}^4-7·(-2{)}^3+7·(-2)-12=16+56-14-12=46$$

Não é raiz.

1. Para $x=3$:
   $$p(3)=3^4-7·3^3+7·3-12=81-189+21-12=-99$$

Não é raiz.

1. Para $x=-3$:
   $$p(-3)=(-3{)}^4-7·(-3{)}^3+7·(-3)-12=81+189-21-12=237$$

Não é raiz.

1. Para $x=4$:
   $$p(4)=4^4-7·4^3+7·4-12=256-448+28-12=-176$$

Não é raiz.

1. Para $x=-4$:
   $$p(-4)=(-4{)}^4-7·(-4{)}^3+7·(-4)-12=256+448-28-12=664$$

Não é raiz.

1. Para $x=6$:
   $$p(6)=6^4-7·6^3+7·6-12=1296-1512+42-12=-186$$

Não é raiz.

1. Para $x=-6$: $$p(-6)=(-6{)}^4-7·(-6{)}^3+7·(-6)-12=1296+1512-42-12=2754$$ Não é raiz.

2. Para $x=12$: $$p(12)={12}^4-7·{12}^3+7·12-12=20736-12096+84-12=8652$$ Não é raiz.

3. Para $x=-12$: $$p(-12)=(-12{)}^4-7·(-12{)}^3+7·(-12)-12=20736+12096-84-12=32836$$ Não é raiz.

Tenho que corrigir a abordagem, pois não se encontrou a raíz. Uma técnica diferente, como o uso de métodos numéricos ou resolvendo o polinômio com software matemático, pode ser necessária para encontrar as raízes, uma vez que não encontramos uma raiz racional facilmente. Vamos tentar novamente com algum cálculo em específico, quer tentar algum número?