Definição de epsilon delta

a definição do apostol diz que lim x->p de f(x)=L se para toda vizinhança de L, existe uma vizinhança em p tal que f(x) permanece na vizinhança de L se x permanecer na vizinhança de p.Logo para toda vizinhança significa que para todo o raio da vizinhança >0, logo todos os reais positivos.Entao para todo E>0 existe algum delta que se 0<|x-p| posso colocar para todo E>0 existe ( o delta) entao |f(x)-L|<|n|.E/34( tome o raio como o valor dpois do "<" . isso por que a função |n|.E/34 assume o valor de todos os reais positivos se E>0
ou entao eu poderia colocar para todo E>5 |f(x)-L|<|n|.(E-5). pois a reta |n|(E-5) assume o valor de todos os reais positivos cosiderando todos os E>5
numa prova por epsilon delta eu só tenho que chegar em um delta tal que |f(x)-L|< uma função cuja imagem tenha todos os reais positivos a partir de uma restrição da variavel
como E>0 se a função for do tipo |n|E
ou E>k se a função for do tipo |n|(E-k)
correto?

Carlos A.
Carlos
perguntou há 2 meses

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1 resposta
Professor Pedro G.
Respondeu há 2 meses
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Olá, Carlos!
Está correto, porém usualmente para resolvermos exercícios tentamos sempre deixar o resultado final como |f(x) - L| < E, por convenção. Então por exemplo se queremos mostrar que o limite de f(x) + g(x) existe em um ponto p dado que lim f(x) = L e lim g(x) = K escrevemos que

Para todo E>0 existem delta1 e delta2 tq se 0 < |x - p| < min(delta1,delta2) então |f(x) - L| < E/2 e |g(x) - K| < E/2. Dessa forma ao fazermos a soma temos
|f(x) + g(x) - (L + K)| < E.

Então basicamente a conveção é tentar deixar essas funções de epsilon nos limites que esta usando como hipótese. Mas da forma como colocou esta correto. Apenas tome cuidado pois ainda é necessário que sua função tenda a zero, por exemplo no caso de E - 5, ela tende a zero quando E - 5 tende a zero, então estaria correta. Mas para evitar um erro por bobeira seguimos a convenção por ser mais segura, trabalhando em geral com E.r se necessário, onde r é um escalar.

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