O Fxy e Fyx tem que ser iguais? Porque eu fiz e refiz e não consegui encontrar meu erro, pois está dando diferente!
F(x,y)=xy.sen(xy)
Nem sempre Fxy é igual a Fyx porem no seu caso tem que ser porque as funções sao de classe C^2
Mais ainda no seu caso a funcao F(x,y)=xy sin(xy) ela é simetrica no sentido que F(x,y)=xy sin(xy)= yx sin(yx)=F(y,x) entao derivar primeiro respeito de x e logo respeito de y da na mesma que derivar respeito de y e logo no x e em ambos casos a resposta deveria ficar
Fxy=(1-x^2y^2) sin (xy) +3xy cos(xy) e Fyx= (1-y^2x^2) sin (yx) +3yx cos (yx) o que é a mesma coisa
qualquer duvida ou esclarecimento maior estou aqui 31 97301 2223
Fala Micael! Vou te ajudar nessa! Só vem!
---> df(x,y)/dx = x.y2.cos(xy)
---> df(x,y)/dy = y.x2.cos(xy)
---> d2f(x,y)/dxdy = 2.x.y.cos(xy) - x2y2.sen(xy)
---> d2f(x,y)/dydx = 2.x.y.cos(xy) - x2y2.sen(xy
Logo, as derivadas segunda sao iguais!
Pronto! Just it, meu parceiro!
Qualquer dúvida me manda um whatsapp!
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Até a próxima campeao!
Não Micael, as derivadas parciais fazendo em relação a x e depois y (fxy) e em relação a y e depois x (fyx) que é chamada de derivada "mista". Existe um teorema que explica a sua dúvida que diz o seguinte, é o teorema de Clairaut-Schwarz: Se a função é de classe C²(uma função que tem derivadas parciais até segunda ordem(quando vc deriva 2x) e todas as funções são contínuas), as derivadas mistas são iguais. Em outras palavras Micael, sempre que uma função for "comportada" como geralmente são as que estudamos em cálculo esse fenômeno vai acontecer.
Mas eu acredito que vc pode ter errado nas regras de derivação, então vamos lá:
F(x,y)=xy.sen(xy) para encontrar fxy, devo fazer primeiro fx:
Fx(derivada de F em relação a x) = xy.sen(xy) (veja que tudo o que tiver y será avaliado como constante e lembre que a derivada de uma constante vezes uma função é sempre a constante vezes a derivada desta função: (xy)' = (1x), outro exemplo:seja c uma constante (c x²)'= c2x. )
Fx(derivada de F em relação a x) = (1y).(sen(xy)) + xy².cos(xy) (Agora devemos usar a regra da cadeia e do produto: sejam duas funções f e g: (f.g)'= f'g + f.g'.) )
Fxy((derivada de F em relação a x) em relação a y) = 1.(sen(xy) + y.cos(xy).x + 2yx.(cos(xy)) + xy².(-sen(xy)x)
Fxy = sen(xy) + xy.cos(xy) + 2xy.cos(xy) - x²y²sen(xy) (Agrupando os termos.)
Fxy = sen(xy) - x²y²sen(xy) + 3xy.cos(xy) (Colocando sen(xy) em evidência.)
Fxy = sen(xy)(1- x²y²) + 3xy.cos(xy) (Resposta.)
Pelo teorema de Clairaut-Schwarz, podemos afirmar mesmo sem fazer contas que Fxy = Fyx = sen(xy)(1- x²y²) + 3xy.cos(xy), pois as funções envolvidades são contínuas e possuem derivadas de segunda ordem.
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