Desafio matematica

Nessa tarefa você irá analisar uma nova situação com base em seus
conhecimentos físicos. Nessa situação, uma bola é lançada de um canhão,
localizado a 1 metro do chão, com uma velocidade inicial de 16 m/s formando um
ângulo de 25° com a horizontal, conforme ilustra a imagem a seguir. Você deverá
estimar qual o alcance máximo que a bola irá atingir e qual a altura máxima. Para
isso, você irá desconsiderar a resistência do ar e considerar a aceleração da
gravidade constante como 9,8 m/s². Não se esqueça de apresentar todos os
cálculos necessários para encontrar a solução desses problemas.

Bruno M.
Bruno
perguntou há 1 semana

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2 respostas
Professor Alexandre L.
Respondeu há 1 semana


Boa tarde Bruno.


Para resolver este problema temos que decompô-lo em x (horizontal) e y (vertical).
Na horizontal não há forças agindo sobre a bola. Portanto, seu regime é MU (Movimento Uniforme). A velocidade horizontal é a decomposição Vx=V*cos(25º)=16*cos(25º)=14,5m/s.

Já no campo vertical há uma força agindo sobre a bola, que é resultante da aceleração da gravidade (g=9,8m/s²). As equações para o MUV (movimento uniformemente variável) são:
V = V0 + a*t
X = X0 + V0*t + a*t²/2

A velocidade inicial vale: V0 = v*sen(25º) = 6,76m/s. A aceleração vale a = -g = -9,8m/s², ela entra negativa porque seu sentido é para baixo (enquanto o sentido da velocidade é para cima).
Para encontrarmos o ponto de máxima altura, devemos igualar V a 0, pois é o momento em que a bola para de subir.
V = 6,76 - 9,8*t
0 = 6,76 - 9,8*t
t = (-6,76)/(-9,8) = 0,69s
Ou seja, o ponto de altura máxima ocorre no instante t=0,69s.
Para achar o valor da altura, utilizaremos a segunda equação. X0, que é a altura inicial, vale 1m. Já sabemos que V0=6,76 e a=-9,8. A equação da altura fica:
Y = 1 + 6,76*t - 9,8*t²/2
Para calcularmos o valor má da altura utilizamos o valor t = 0,69s.
Ymáx = 1 + 6,76*0,69 - 9,8*(0,69)²/2 = 3,33m

O instante em que a bola toca o chão acontece quando Y = 0. Aplicando na equação:
0 = 1 + 6,76*t - 9,8*t²/2
Temos portanto uma equação de segundo grau, que podemos resolver pela fórmula de Bháskara.
delta = b²-4*a*c
x = (-b+-raiz(b²-4*a*c))/2*a

delta = 6,76²-4*(-9,8)*1 = 84,88
t = (-6,76+-raiz(delta))/2*(-9,8)
t'= (-6,76+raiz(84,88))/2*(-9,8)=-0,125s
t''= (-6,76-raiz(84,88))/2*(-9,8)= 0,82s

Ignorando o valor de t', pois não existe tempo negativo, temos que t = 0,82s. Este tempo é, portanto, o instante de máximo alcance. Pela fórmula do MU, temos:
X = X0 + V0*t = 0 + 14,5*0,82 = 11,89m

Professor Luiz H.
Respondeu há 1 semana

Movimento de projéteis 2D sem resistência do ar. Decompor nas direções do plano x e y.
Para calcular a altura máxima, usamos, p.ex., Torricelli:
ymáx=1+(v0sen(25º))²/2*g=1+(6,76²)/2*9,8=1+2,33≅3,33 m.
Para encontrarmos o alcance horizontal, precisamos do tempo de voo. Calculamos ele por,
y=1+v0sen(25º)t-(9,8/2)t². O alcance horizontal máximo ocorre quando y=0 m. Desse modo, chegamos a equação do 2º em t, -4,9t²+6,76t+1=0. Resolvendo por Bháskara, obtemos t=1,51 s, pois t>0 s. Usando este tempo na equação do alcance, temos que, xmáx=x0+v0cos(25º)t=0+14,5*1,51≅21,9 m.

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