Tem exatamente 7 atividades que eu posso fazer em um dia:
-Trabalhar em casa
- Trabalhar no escritório
- Trabalhar na biblioteca
- Ir para a praia
- Ir para o cinema
- Ir para o bar
- Ficar em casa
Cada dia faço exatamente uma dessas atividades. A única regra é que nunca trabalho dois dias consecutivos. Pretendo planejar minhas atividades para os próximos n dias. Seja An o número de maneiras que eu posso planejar os próximos n dias, seguindo a regra de que nunca trabalho em dias consecutivos. Por exemplo, A1=7 e A2=40.
Encontre uma fórmula de recorrência para An.
Regra:
"Nunca pode trabalhar em dois dias consecutivos".
3+ 4 = 7 possibilidades.
A) Se escolher trabalhar o primeiro dia, não pode trabalhar no segundo dia:
3.4 = 12 possibilidades
B) Se escolher não trabalhar no primeiro dia, há 7 possibilidades do que fazer no segundo dia:
4.7 = 28 possibilidades.
Total: 3.4 + 4.(3+4) =
3.4 + 4.3 + 4.4 = 40 possibilidades
Escolha:
S - se trabalha no dia;
N - se não trabalha no dia.
Possibilidades:
(N,N,N) = 4.4.4
(S,N,N) = 3.4.4
(N,S,N) = 4.3.4
(N,N,S)= 4.4.3
(S,N,S)= 3.4.3
Total:
(N,N,N,N) = 4..4.4.4
(S,N,N,N) = 3.4.4.4
(N,S,N,N) = 4.3.4.4
(N,N,S,N) = 4.4.3.4
(N,N,N,S) = 4.4.4.3
(S,N,S,N) = 3.4.3.4
(S,N,N,S) = 3.4.4.3
(N,S,NS) = 4.3.4.3
Total:
(N,N,N,N,N) = 4.4.4.4.4
(S,N,N,N,N) = 3.4.4.4.4
(N,S,N,N,N) = 4.3.4.4.4
(N,N,S,N,N) = 4.4.3.4.4
(N,N,N,S,N) = 4.4.4.3.4
(N,N,N,N,S) = 4.4.4.4.3
(S,N,S,N,N) = 3.4.3.4.4
(S,N,N,S,N) = 3.4.4.3.4
(S,N,N,N,S) = 3.4.4.4.3
(N,S,N,S,N) = 4.3.4.3.4
(N,S,N,N,S) = 4.3.4.4.3
(N,N,S,N,S) = 4.4.3.4.3
(S,N,S,N,S) = 3.4.3.4.3
Total:
.
A_n =
3^[(n+1)/2].4^[(n-1)/2]
...+n.4^(n-2).3^2+n.4^(n-1).3+4^n, se n é ímpar.
A_n =
3^(n/2).4^(n/2)+...+n.4^(n-2).3^2 + n.4^(n-1).3 + 4^n, se n é par.
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