Determinar coeficientes de polinómios

Olá Mário, bela questão.

 

Vamos lá, através de algumas informções já sabemos alguns coeficientes.

no próprio exercício já fica claro que e = -2, pois está acompanhando o termo de maior grau(x⁴)

Agora podemos usar as outras iformações que são sobre a divisão deste polinômio por (x-1) o que nos daria um resto 2.

para isso temos de ter uma ideia melhor desse polinômio, para isso vamos monta-lo à partir das raízes dadas:

Como uma das raízes é zero, temos que o termo a=0 pois só assim para que o polinômio tenha raíz zero, assim ficamos com, bom já temos 2 coeficientes bora lá:

-2(x-3/2).(x-0).(x-0).(x-r), este é o polinômio feito através das raízes dadas,o r é a raiz desconhecida, melhorando um pouco:

-2(x-3/2)x².(x-r)

-2(x-3/2)(x³-rx²) 

-2( x⁴ - rx³ - 3/2x³ + 3r/2x²), por fim:

-2x⁴ -+ 2rx³ + 3x³ - 3rx²

-2x⁴ + (2r+3)x³ - 3rx²

perceba que não temos nenhum termo com x desse modo percebemos que b=0 ;)

agora temos de realizar a divisão do polinômio encontrado por (x-1), ao realizar essa divição chegamos:

quociente: -2x³ + (2r+1)x² + (1-r)x + ( 1-r) e a

Resto : 1-r mas o próprio exercício nos disse que o resto seria 2 dessa divisão, dessa forma temos que r = -1 com isso conseguimos os outros coeficientes:

d = 2r+3 ou d = 1

c = -3r ou c= 3

pronto conseguimos todos agora:

a=0

b=0

c=3

d=1

e=-2

Qualquer dúvida estou à disposição.

Att

FLávio F. Forner

P(x) = ex^4+dx^3+cx^2+bx+a e=-2; podemos fatorar o polinômio da seguinte maneira P(x) = -2(x-f)(x-3/2)(x-0)^2 P(x) = -2(x-f)(x-3/2)x^2 (x-f) é o único fator desconhecido cuja raiz é f, e o coeficiente -2 força o grau do polinômio a ser semelhante à condição fornecida. P(x) = (-2x+2f)(x^3-3/2x^2) P(x) = -2x^4+3x^3+2fx^3-3fx^2 P(x) = -2x^4+(3+2f)x^3-3fx^2 Teorema do resto O resto da divisão de um polinômio P(x) pelo binômio ax + b é igual ao valor numérico desse polinômio para x=-b/a, ou seja, P(-b/a) = r. Agora, se P(x) = -2x^4+(3+2f)x^3-3fx^2, e P(1) = 2, temos... P(1) = -2(1)^4+(3+2f)(1)^3-3f(1)^2 = 2 -2+3+2f-3f = 2 -2+3-2 = -2f+3f -1 = f, então P(x) = -2x^4+(3+2f)x^3-3fx^2+0x+0 P(x) = -2x^4+(3+2(-1))x^3-3(-1)x^2+0x+0 P(x) = -2x^4+x^3+3x^2+0x+0 P(x) = ex^4+dx^3+cx^2+bx+a e=-2, d=1, c=3, b=0, a=0.