determine a area de um qudrrado inscrito em um circulo de ra

Para determinar a área de um quadrado inscrito em um círculo, vamos primeiro entender a relação entre o triângulo equilátero inscrito no mesmo círculo e o quadrado.

Passo 1: Determinar o raio do círculo usando o triângulo equilátero

Se um triângulo equilátero está inscrito em um círculo e o apótema ($a$) do triângulo é dado, podemos encontrar o raio ($R$) do círculo. O apótema de um triângulo equilátero é a distância do centro até o ponto médio de um dos lados, e está relacionado ao lado do triângulo ($s$) da seguinte forma:

Dado que o apótema é $4\text{cm}$, podemos montar a equação:

Multiplicando ambos os lados por 6 e dividindo por $\sqrt{3}$:

O raio $R$ do círculo para um triângulo equilátero inscrito é equivalente a:

Substituindo $s=8\sqrt{3}$:

Passo 2: Determinar a área do quadrado inscrito

Para um quadrado inscrito em um círculo, a diagonal do quadrado é igual ao diâmetro do círculo ($2R$). O lado do quadrado $s_q$ está relacionado à diagonal $d$ por:

O diâmetro $d=2R=2\times 8=16$. Portanto:

Dividindo os dois lados por $\sqrt{2}$:

A área do quadrado $A_q$ é:

Portanto, a área do quadrado inscrito no círculo é $128{\text{cm}}^2$.