Determine as equações vetorial e para

Professor Jonas K.

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Respondeu há 10 meses

Seria mais apropriado que essa questão fosse enviada no formato de Tarefas Profes.

Professora Julia T.

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Enviar na forma de Tarefas Profes.

Professor Assis J.

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Veja o gráfico:

https://www.wolframcloud.com/obj/0e5bb0ee-50cf-40fe-8672-a3469d626d0e

A equação vetorial de um plano é dada por n.(r - r0) = 0, onde n é o vetor normal ao plano, r é o vetor posição geral no plano, e r0 é um vetor posição específico no plano.

Para a equação do plano dada, 4x + y - z + 2 = 0, o vetor normal é n = (4, 1, -1). 

Vamos escolher um ponto específico no plano para ser r0. Podemos fazer x = 0, y = 0, e resolver para z para obter um ponto que satisfaça a equação do plano. Isso nos dá z = -2, então um possível r0 é (0, 0, -2).

Substituindo n e r0 na equação vetorial, obtemos:

(4, 1, -1).(x - 0, y - 0, z + 2) = 0

Simplificando, obtemos 4x + y - z + 2 = 0, que é a mesma equação do plano que nos foi dada inicialmente.

A forma paramétrica de um plano é dada por r = r0 + su + tv, onde u e v são vetores diretores no plano, e s e t são parâmetros reais.

Podemos escolher u e v para serem quaisquer dois vetores não paralelos no plano. Uma maneira de escolher esses vetores é fazê-los serem perpendiculares ao vetor normal. Podemos escolher, por exemplo, u = (1, 4, 0) e v = (0, 1, 1).

Portanto, a forma paramétrica do plano seria r = (0, 0, -2) + s(1, 4, 0) + t(0, 1, 1).

Isso nos dá as seguintes equações para x, y, e z em termos de s e t:

x = s
y = 4s + t
z = -2 + t

Essas são as equações paramétricas do plano.