A análise que você fez está correta ao notar que para a função quadrática a concavidade deve ser para cima para haver um valor mínimo. Isso implica que o coeficiente deve ser positivo, portanto ou .
Para encontrar o valor de para o qual o valor mínimo de é igual a 1, devemos encontrar o valor do vértice da parábola que é dado por:
Onde e são os coeficientes da forma . Aqui, temos:
Assim, o do vértice é:
Agora substituímos na função para encontrar o valor mínimo:
Calculando :
Simplificando:
Saindo com um denominador comum:
Ou seja:
Para que o valor mínimo de seja 1, igualamos a função ao valor 1 e resolvemos.
Vamos simplificar:
Arrumando e resolvendo para encontrar .
Seguindo, você terá equações em forma quadrática que dará resultados. Existe um passo aqui que parece que foi pulado na sua resolução inicial. Também, ao invés de usar a fórmula da soma e cálculo de 1, iguale diretamente a função com 1.
Depois de resolvê-la, identifique os valores desejados de .
Se precisar de ajuda para simplificar mais a equação, basta pedir.
Olá Juliana, cheguei na mesma conclusão que você.
f(x) = ax² + bx + c tem ponto extremo em x*=-b/2a.
x* deve ser pt. min => conc. para cima => a = m-1>0 => m>1. Até aqui correto.
f(x*) = f(-b/2a) = ... = - (b² / 4a) + c == 1 => b² = -4a*(1-c) = 4a*(c-1)
Substitundo a,b,c por (m-1), (m+1) e (-m) temos
(m+1)² = 4(m-1)*(-m-1) => 5m² + 2m - 3 = 0
Que tem exatamente as soluções que você encontrou.
Por se tratar de um mínimo não existe solução, este valores seriam pontos de máximo.
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