Olá, boa noite, tudo bem?
Nesse exercício, vamos estudar um pouco sobre os Polinomios.
1) Veja que, temos um polinomio P(x) e devemos determinar a e P(2). Usando a definição, temos que P(x) é divisível por (x-b) se, e somente se P(b)=0. Usando esse fato, temos:
P(2)=0
Substituindo x=2, temos:
3.2^3-5.2^2+6.2+a = 0
Resolvendo a equação do primeiro grau em a, vem:
24-20+12+a=0
16+a = 0
Donde
a=-16
E P(2)=0, por definição
2) Esse exercício é bem parecido com o anterior e nos pede para determinar a soma de constantes para que P(x) seja divisivel por determinados Polinomios do segundo grau. Veja que, podemos fatorar os Polinomios de grau 2 e usar o Teorema da da visibilidade em Polinomios que diz: P(x) é divisível por (x-d).(x-e) se, e somente se P(x) é divisível por cada um separadamente. Daí, fatorando:
x^2-3x+2 = (x-1).(x-2)
[ Obtemos essa fatoracao ao determinarmos as raízes da equação x^2-3.x+2 = 0, no caso, d=1 e e =2 são as raízes de acordo com o Teorema de decomposição de polinomios]
Então, segue do teorema da divisibilidade que:
P(x) divisível por (x-1)
P(x) divisível por (x-2)
Isso implica em duas relações:
P(1)=0
P(2)=0
Sobre o outro polinomio:
x^2-2.x+1 = (x-1).(x-1)
Segue que:
P(1)=0
P(1)=0
Então temos as duas informações:
P(1)=0 implica 3.1^3+a.1^2+b.1+c=0
a+b+c = -3
Os demais exercícios deixo a seu cargo.
Dica do exercício 3) Fatore o polinomio como fizemos e use os teoremas que utilizamos, sabendo que f(numero) = 0
Dica do exercício 4) Faça-o pensando na relação fundamental da divisão para os Polinomios:
A(x) = B(x).q(x) + r(x)
Onde A é o dividendo, B é o divisor, q é o quociente e r é o resto.
Espero que tenha entendido um pouco sobre os Polinomios. Qualquer dúvida estarei à total disposição.
Espero ter ajudado! Bons estudos!
