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Determine os valores de k para os quais a condição seguinte

Determine os valores de k para os quais a condição seguinte é possível em IR: tgx=k e cosx=1/(2k).
Minerva IA
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Respondeu há 2 semanas

Para que a condição seja verdadeira, precisamos considerar as relações trigonométricas envolvidas. Dadas as equações (\tan(x) = k) e (\cos(x) = \frac{1}{2k}), podemos usar a identidade fundamental da trigonometria que relaciona seno, cosseno e tangente:

tan(x)=sin(x)cos(x)

Substituindo (\tan(x) = k) na identidade acima, temos:

k=sin(x)cos(x)

Multiplicando ambos os lados por (\cos(x)), obtemos:

kcos(x)=sin(x)

Além disso, sabemos que (\cos(x) = \frac{1}{2k}). Podemos substituir isso na equação anterior:

k(12k)=sin(x)

Isso simplifica para:

12=sin(x)

Portanto, para que (\sin(x) = \frac{1}{2}), x precisa ser um ângulo cujo seno é igual a 1/2. Isso ocorre para x=π6 ou x=5π6 (considerando o intervalo [0,2π]), além de seus múltiplos inteiros de 2π.

Agora, verifiquemos a relação para (\cos(x) = \frac{1}{2k}). Para x=π6, temos:

cos(π6)=32

Igualando 32=12k, obtemos:

2k32=1k=13

Para x=5π6, temos (\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}). Similarmente:

2k(32)=1k=13

Portanto, os valores de k para os quais a condição é possível são k=13 e k=13.

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Respondeu há 2 semanas
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