Determine os valores de k para os quais a condição seguinte

Question

Determine os valores de k para os quais a condição seguinte é possível em IR: tgx=k e cosx=1/(2k).

Profes A. · Accepted Answer

Para que a condição seja verdadeira, precisamos considerar as relações trigonométricas envolvidas. Dadas as equações (\tan(x) = k) e (\cos(x) = \frac{1}{2k}), podemos usar a identidade fundamental da trigonometria que relaciona seno, cosseno e tangente:

\tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}

Substituindo (\tan(x) = k) na identidade acima, temos:

k = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}

Multiplicando ambos os lados por (\cos(x)), obtemos:

k \cos (x) = \sin (x)

Além disso, sabemos que (\cos(x) = \frac{1}{2k}). Podemos substituir isso na equação anterior:

k (\frac{1}{2 k}) = \sin (x)

Isso simplifica para:

\frac{1}{2} = \sin (x)

Portanto, para que (\sin(x) = \frac{1}{2}), $x$ precisa ser um ângulo cujo seno é igual a 1/2. Isso ocorre para $x = \frac{π}{6}$ ou $x = \frac{5 π}{6}$ (considerando o intervalo $[0, 2 π]$ ), além de seus múltiplos inteiros de $2 π$ .

Agora, verifiquemos a relação para (\cos(x) = \frac{1}{2k}). Para $x = \frac{π}{6}$ , temos:

\cos (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}

Igualando $\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2 k}$ , obtemos:

2 k \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{\sqrt{3}}

Para $x = \frac{5 π}{6}$ , temos (\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}). Similarmente:

2 k (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 \Rightarrow k = - \frac{1}{\sqrt{3}}

Portanto, os valores de $k$ para os quais a condição é possível são $k = \frac{1}{\sqrt{3}}$ e $k = - \frac{1}{\sqrt{3}}$ .

Alan M. · Answer

Vejo que sua pergunta foi respondida, se precisar de aulas de ingles entre no meu perfil.

Determine os valores de k para os quais a condição seguinte

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