Dois amigos jogam uma partida de 6 rodadas, ou seja, cada um

Question

Dois amigos jogam uma partida de 6 rodadas, ou seja, cada um irá arremessar 6 dardos até o final do jogo. Sabe-se que, após a 5° jogada de cada um, a diferença entre a pontuação total dos jogadores foi de 10 pontos, e que, caso fosse possível o jogador com a menor pontuação dobrar seus pontos na última rodada, o outro jogador precisaria obter a pontuação máxima com sua jogada final para empatar o jogo. A pontuação do jogador com mais pontos após a 5° jogada era de:  a) 10 pontos b) 28 pontos c) 30 pontos d) 40 pontos e) 60 pontos

Profes A. · Accepted Answer

Vamos considerar os dois jogadores como Jogador A e Jogador B.

Vamos supor que após a 5ª rodada a pontuação do Jogador A seja $A_{5}$ e a do Jogador B seja $B_{5}$ . Como a diferença entre suas pontuações é de 10 pontos, podemos escrever a equação:

| A_{5} - B_{5} | = 10

Sem perda de generalidade, vamos supor $A_{5} > B_{5}$ , então:

A_{5} = B_{5} + 10

Na última rodada, se o Jogador B pudesse dobrar sua pontuação total, ela seria $2 \times B_{5}$ . Para empatar o jogo, o Jogador A precisaria atingir a pontuação máxima na última jogada.

Vamos chamar a pontuação máxima que um jogador pode obter em uma rodada de $P_{m a x}$ . Após a última rodada, teríamos:

2 \times B_{5} = A_{5} + P_{m a x}

Substituindo a relação entre $A_{5}$ e $B_{5}$ na equação, temos:

2 \times B_{5} = (B_{5} + 10) + P_{m a x}

Simplificando isso, obtemos:

2 B_{5} = B_{5} + 10 + P_{m a x}

B_{5} = 10 + P_{m a x}

Da equação anterior, sabemos que $B_{5} = 10 + P_{m a x}$ e que $A_{5} = B_{5} + 10$ . Substituindo $B_{5}$ por $10 + P_{m a x}$ :

A_{5} = (10 + P_{m a x}) + 10

A_{5} = 20 + P_{m a x}

Para resolver essa equação, precisamos de um valor razoável para $P_{m a x}$ . Assumindo que $P_{m a x} = 20$ (uma suposição que é comum em muitos jogos de dardos, onde o máximo por rodada pode ser próximo de 20, como no caso de acertar o centro), substituímos na equação:

A_{5} = 20 + 20

A_{5} = 40

Logo, a pontuação do jogador com mais pontos após a 5ª jogada era de:

d) 40 pontos

Davi L. · Answer

Vamos resolver o problema passo a passo:

1. **Diferença de Pontos Após a 5ª Jogada**:
- A diferença entre a pontuação total dos jogadores após a 5ª jogada é de 10 pontos.

2. **Dobrar Pontos na Última Rodada**:
- Se o jogador com a menor pontuação dobrar seus pontos na última rodada, o outro jogador precisará obter a pontuação máxima com sua jogada final para empatar o jogo.

Vamos chamar:
- $ P_{maior} $ a pontuação do jogador com mais pontos após a 5ª jogada.
- $ P_{menor} $ a pontuação do jogador com menos pontos após a 5ª jogada.

Sabemos que:
\[ P_{maior} = P_{menor} + 10 \]

Quando o jogador com menor pontuação dobra seus pontos na última rodada:
\[ 2 \times P_{menor} \]
Para empatar, o jogador com mais pontos precisa obter a pontuação máxima, que chamaremos de $ X $.

Equação para empate:
\[ 2 \times P_{menor} = P_{maior} + X \]

Substituindo $ P_{maior} = P_{menor} + 10 $ na equação:
\[ 2 \times P_{menor} = (P_{menor} + 10) + X \]
\[ 2P_{menor} = P_{menor} + 10 + X \]
\[ P_{menor} = 10 + X \]

Agora, para encontrar a pontuação de $ P_{maior} $:
\[ P_{maior} = (10 + X) + 10 \]
\[ P_{maior} = 20 + X \]

Vamos verificar as opções dadas:
a) 10 pontos
b) 28 pontos
c) 30 pontos
d) 40 pontos
e) 60 pontos

Para a pontuação máxima (dobro de pontos), vamos supor que $ X = 10 $, que é uma pontuação razoável.

Substituindo $ X = 10 $:
\[ P_{menor} = 10 + 10 = 20 \]
\[ P_{maior} = 20 + 10 = 30 \]

Portanto, a pontuação do jogador com mais pontos após a 5ª jogada é de **30 pontos**, que corresponde à opção c).

A resposta correta é: **c) 30 pontos**. Se precisar de mais alguma coisa, estou aqui para ajudar! ????

Vinicius R. · Answer

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