Vamos considerar os dois jogadores como Jogador A e Jogador B.
Vamos supor que após a 5ª rodada a pontuação do Jogador A seja e a do Jogador B seja . Como a diferença entre suas pontuações é de 10 pontos, podemos escrever a equação:
Sem perda de generalidade, vamos supor , então:
Na última rodada, se o Jogador B pudesse dobrar sua pontuação total, ela seria . Para empatar o jogo, o Jogador A precisaria atingir a pontuação máxima na última jogada.
Vamos chamar a pontuação máxima que um jogador pode obter em uma rodada de . Após a última rodada, teríamos:
Substituindo a relação entre e na equação, temos:
Simplificando isso, obtemos:
Da equação anterior, sabemos que e que . Substituindo por :
Para resolver essa equação, precisamos de um valor razoável para . Assumindo que (uma suposição que é comum em muitos jogos de dardos, onde o máximo por rodada pode ser próximo de 20, como no caso de acertar o centro), substituímos na equação:
Logo, a pontuação do jogador com mais pontos após a 5ª jogada era de:
d) 40 pontos
Vamos resolver o problema passo a passo:
1. **Diferença de Pontos Após a 5ª Jogada**:
- A diferença entre a pontuação total dos jogadores após a 5ª jogada é de 10 pontos.
2. **Dobrar Pontos na Última Rodada**:
- Se o jogador com a menor pontuação dobrar seus pontos na última rodada, o outro jogador precisará obter a pontuação máxima com sua jogada final para empatar o jogo.
Vamos chamar:
- \( P_{maior} \) a pontuação do jogador com mais pontos após a 5ª jogada.
- \( P_{menor} \) a pontuação do jogador com menos pontos após a 5ª jogada.
Sabemos que:
\[ P_{maior} = P_{menor} + 10 \]
Quando o jogador com menor pontuação dobra seus pontos na última rodada:
\[ 2 \times P_{menor} \]
Para empatar, o jogador com mais pontos precisa obter a pontuação máxima, que chamaremos de \( X \).
Equação para empate:
\[ 2 \times P_{menor} = P_{maior} + X \]
Substituindo \( P_{maior} = P_{menor} + 10 \) na equação:
\[ 2 \times P_{menor} = (P_{menor} + 10) + X \]
\[ 2P_{menor} = P_{menor} + 10 + X \]
\[ P_{menor} = 10 + X \]
Agora, para encontrar a pontuação de \( P_{maior} \):
\[ P_{maior} = (10 + X) + 10 \]
\[ P_{maior} = 20 + X \]
Vamos verificar as opções dadas:
a) 10 pontos
b) 28 pontos
c) 30 pontos
d) 40 pontos
e) 60 pontos
Para a pontuação máxima (dobro de pontos), vamos supor que \( X = 10 \), que é uma pontuação razoável.
Substituindo \( X = 10 \):
\[ P_{menor} = 10 + 10 = 20 \]
\[ P_{maior} = 20 + 10 = 30 \]
Portanto, a pontuação do jogador com mais pontos após a 5ª jogada é de **30 pontos**, que corresponde à opção c).
A resposta correta é: **c) 30 pontos**. Se precisar de mais alguma coisa, estou aqui para ajudar! ????
