Duas questões sobre derivadas, domínio e derivada primeira

Como não é possível anexar imagens, aqui um print do exercício: https://prnt.sc/nrirt2

Na segunda questão (37), o que é derivada primeira? e a afirmativa é verdadeira?

Por favor, se possível exemplificar com os cálculos

Julio C.
Julio
perguntou há 5 meses

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Professor Gabriel D.
Respondeu há 5 meses

Boa tarde, Tulio.



Derivada primeira é a "primeira derivada" de uma função. Se f(x) é a função, f'(x) é a primeira derivada da função, f''(x) é a segunda derivada da função, f'''(x) é a terceira derivada da função, etc.

A derivada de funções polinomiais segue a seguinte regra: http://prntscr.com/nrj0dn


exemplo: seja a(x) = 2x³ - 3x¹ + 7, a'(x) = 3.2 x² - 1.3 xº + 0 (derivada de constante real é igual a zero).


Logo a'(x) = 6x² -3


A segunda derivada da função a, seria: a''(x) = 2.6.x¹ - 0 = 12x


A terceira derivada da função a, seria: a'''(x) = 1.12 xº = 12.1 = 12


A quarta derivada da função a, seria a''''(x) ou a(4)(x) = 0.12 (lembrando que 12 = 12.xº, por isso a derivada de constantes é 0, pois ele passa multiplicando).



Chamando u = 3x²-12 e v = x - 2, vemos que f(x) é uma função composta (quociente de duas funções)

De acordo com a regra do quociente:

Se f(x) = u/v, então f'(x) = (u'v - uv')/v²


 


u = 3x²-12, u' = 2.3 x - 0 = 6x; se v = x - 2, v' = 1.xº - 0 = 1.1 = 1


 


f'(x) = (u'v - uv')/v²


f'(x) = [(6x)(x-2) - (3x²-12)(1)]/(x-2)²


O resto fica com você. Um abraço!


Caso tenha dificuldade nessas questões, me contate em www.profes.com.br/delboni que ficarei feliz em te ajudar.

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Professor Vitor E.
Respondeu há 5 meses
Dependendo da função ela pode ser derivada algumas vezes, nenhuma, uma, ou infinitamente. Desde que você queira. Mas claro que tem estudos que diz isso e enunciados que delimita a quantidade de derivadas que uma função pode ter.
Desta forma a derivada primeira é a derivação inicial da função dada.
A resposta é falso. Ela não é um constante, basta fazer a derivada da função aplicando a regra da derivada da razão. Seja f(x)= g(x)/h(x), onde g(x)=3x^2 + 12 e h(x)=x-2.
Logo, f '(x)= [g '(x).h(x) - g(x).h '(x)] / h(x)^2. Recomendo você fazer os cálculos e verificar.
Alias, as infinitas ou finitas derivadas existes, pois uma derivada é uma função e uma função pode ou não ser derivada dessa forma, uma função inicial pode ter infinitas ou finitas derivadas.
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Professor Gustavo S.
Respondeu há 5 meses
Olá Júlio, o assunto de derivada é um assunto de nível superior e não é tão simples explicar em poucas palavras.

Basicamente derivada é a variação de uma função com relação a algum parâmetro. No caso desse exercício a derivada primeira é escrito como df/dx e representa o quanto a função f varia em relação à variável x.
A derivada pode ser representada por um apóstrofe em cima da função a qual eu derivei. Tipo: f'(x) representa a derivada primeira, f''(x) representa a derivada segunda, f'''(x) representa a derivada terceira e assim sucessivamente.

f'(x) = d/dx (3x^2-12)/(x-2)
Pela regra do quociente
d/dx (u/v) = (u'*v - u*v')/v^2

Portanto
f'(x) = [(3x^2-12)'*(x-2) - (3x^2-12)*(x-2)']/(x-2)^2
A derivada de 3x^2 -12 é igual a 6x
A derivada de x-2 é igual a x
Portanto
f'(x) = [6x * (x-2) - (3x^2-12)*x]/(x-2)^2
f'(x) = [6x^2 - 12x - 3x^3 + 12x ]/(x-2)^2
f'(x) = 3 (2x^2-x^3)/(x-2)^2

Para mais detalhes sobre derivada me envie uma mensagem pessoal
Att
Gustavo

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