Para resolver esse problema, vamos considerar que o polígono tem lados e que as medidas dos lados formam uma progressão aritmética (PA). Sendo assim, vamos definir:
O perímetro do polígono é dado pela soma dos comprimentos de todos os lados, ou seja:
Queremos maximizar , o número de lados do polígono, com a condição de que e sejam números inteiros e que todos os lados do polígono, por serem comprimentos, também sejam positivos.
Vamos tentar algumas opções começando pelo maior número de lados:
Neste caso, a soma dos comprimentos dos lados é:
Experimentando valores inteiros simples:
Se :
não é um inteiro.
Se :
não é um inteiro.
Não conseguimos .
Se :
Como temos e queremos que cada termo da PA seja positivo, a sequência é 4, 6, 8, 10, 12. Todos são inteiros e positivos, e a soma é 40.
Portanto, é possível concluir que o maior número de lados possível, mantendo a soma dos lados igual a 40, é 5 lados, ou seja, a resposta correta é a alternativa (A).
A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada pela fórmula:
Como o perímetro é de 40 m, temos . Como estamos trabalhando com inteiros, da fórmula acima concluimos que se n é ímpar, então n é divisor de 40, se n é par, então n/2 é divisor de 40. Como os divisores de 40 são 1,2,4,5,8,10,20,40, n pode ser: 1,2,4,5,8,10,20,40,80.
Note que . Disso concluimos que n pode ser 1,2,4,5,8.
Se n=8, temos:
Então . Mas note que não há resposta inteira positivas para essa equação. r é no mínimo 1, mas ai teriamos
, impossível. Mas r não pode ser 2 ou maior que 2, porque a_1 teria que ser negativo. Logo n não pode ser 8.
Se n=5, temos:
Então . Note que para essa equação temos algumas respostas possíveis:
A
A última é inválida porque não podemos ter .
Que geram as seguintes PAs:
Note que obtemos soma 40 em qualquer uma delas. Então temos 3 pentágonos que satisfazem a condição do exercício. Logo o maior número de lados possíveis n é 5. A resposta correta é A).
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