Durante uma aula de geometria, a professora pediu aos aluno

Question

Durante uma aula de geometria, a professora pediu aos alunos para resolverem um problema envolvendo um polígono em que as medidas dos lados, expressas em metros, são números inteiros que estão em progressão aritmética (PA). O polígono tem um perímetro de 40 metros e os alunos devem descobrir o maior número de lados que esse polígono pode ter. Assinale a alternativa que apresenta corretamente a resposta que deve ser encontrada pelos alunos. (A) 5 lados. (B) 3 lados. (C) 4 lados. (D) 6 lados.

Profes A. · Accepted Answer

Para resolver esse problema, vamos considerar que o polígono tem $n$ lados e que as medidas dos lados formam uma progressão aritmética (PA). Sendo assim, vamos definir:

$a_{1}$ : o primeiro termo da PA (comprimento de um dos lados do polígono).
$d$ : a diferença comum da PA.

O perímetro do polígono é dado pela soma dos comprimentos de todos os lados, ou seja:

n \cdot a_{1} + \frac{(n - 1) n}{2} \cdot d = 40

Queremos maximizar $n$ , o número de lados do polígono, com a condição de que $a_{1}$ e $d$ sejam números inteiros e que todos os lados do polígono, por serem comprimentos, também sejam positivos.

Vamos tentar algumas opções começando pelo maior número de lados:

$n = 6$ :

Neste caso, a soma dos comprimentos dos lados é:

6 a_{1} + \frac{5 \cdot 6}{2} d = 40

6 a_{1} + 15 d = 40

Experimentando valores inteiros simples:

Se $d = 1$ :

$6 a_{1} + 15 = 40 \Rightarrow 6 a_{1} = 25$

$a_{1}$ não é um inteiro.
Se $d = 2$ :

$6 a_{1} + 30 = 40 \Rightarrow 6 a_{1} = 10$

$a_{1}$ não é um inteiro.

Não conseguimos $n = 6$ .

$n = 5$ :

5 a_{1} + \frac{4 \cdot 5}{2} d = 40

5 a_{1} + 10 d = 40

Se $d = 2$ :

$5 a_{1} + 20 = 40 \Rightarrow 5 a_{1} = 20 \Rightarrow a_{1} = 4$

Como temos $a_{1} = 4$ e queremos que cada termo da PA seja positivo, a sequência é 4, 6, 8, 10, 12. Todos são inteiros e positivos, e a soma é 40.

Portanto, é possível concluir que o maior número de lados possível, mantendo a soma dos lados igual a 40, é 5 lados, ou seja, a resposta correta é a alternativa (A).

Vinicius R. · Answer

Ficou alguma dúvida?

Maria C. · Answer

A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada pela fórmula:

Como o perímetro é de 40 m, temos . Como estamos trabalhando com inteiros, da fórmula acima concluimos que se n é ímpar, então n é divisor de 40, se n é par, então n/2 é divisor de 40. Como os divisores de 40 são 1,2,4,5,8,10,20,40, n pode ser: 1,2,4,5,8,10,20,40,80.

Note que . Disso concluimos que n pode ser 1,2,4,5,8.

Se n=8, temos:

Então . Mas note que não há resposta inteira positivas para essa equação. r é no mínimo 1, mas ai teriamos , impossível. Mas r não pode ser 2 ou maior que 2, porque a_1 teria que ser negativo. Logo n não pode ser 8.

Se n=5, temos:

Então . Note que para essa equação temos algumas respostas possíveis:

A

A última é inválida porque não podemos ter .

Que geram as seguintes PAs:

Note que obtemos soma 40 em qualquer uma delas. Então temos 3 pentágonos que satisfazem a condição do exercício. Logo o maior número de lados possíveis n é 5. A resposta correta é A).

Eliézer M. · Answer

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