Durante uma aula de geometria, a professora pediu aos aluno

Para resolver esse problema, vamos considerar que o polígono tem $n$ lados e que as medidas dos lados formam uma progressão aritmética (PA). Sendo assim, vamos definir:

• $a_1$: o primeiro termo da PA (comprimento de um dos lados do polígono).
• $d$: a diferença comum da PA.

O perímetro do polígono é dado pela soma dos comprimentos de todos os lados, ou seja:

Queremos maximizar $n$, o número de lados do polígono, com a condição de que $a_1$ e $d$ sejam números inteiros e que todos os lados do polígono, por serem comprimentos, também sejam positivos.

Vamos tentar algumas opções começando pelo maior número de lados:

1. $n=6$:

Neste caso, a soma dos comprimentos dos lados é:

Experimentando valores inteiros simples:

• Se $d=1$:

  $$6a_1+15=40\Rightarrow 6a_1=25$$

  $a_1$ não é um inteiro.

• Se $d=2$:

  $$6a_1+30=40\Rightarrow 6a_1=10$$

  $a_1$ não é um inteiro.

Não conseguimos $n=6$.

1. $n=5$:

• Se $d=2$:

  $$5a_1+20=40\Rightarrow 5a_1=20\Rightarrow a_1=4$$

  Como temos $a_1=4$ e queremos que cada termo da PA seja positivo, a sequência é 4, 6, 8, 10, 12. Todos são inteiros e positivos, e a soma é 40.

Portanto, é possível concluir que o maior número de lados possível, mantendo a soma dos lados igual a 40, é 5 lados, ou seja, a resposta correta é a alternativa (A).