Durante uma conferência de médicos, cada médico apertou a

Question

Durante uma conferência de médicos, cada  médico apertou a mão de todos os outros presentes,  exceto o Dr. José, que não apertou a mão de ninguém.  Ao todo, foram trocados 105 apertos de mão. Considerando que ninguém apertou a própria mão,  quantos médicos estavam presentes na conferência?

Profes A. · Accepted Answer

Para resolver essa questão, podemos usar a fórmula para calcular o número de apertos de mão em um grupo de $n$ pessoas, que é:

\frac{n (n - 1)}{2}

No entanto, como o Dr. José não apertou a mão de ninguém, devemos subtrair o Dr. José do total de médicos que apertaram as mãos. Assim, consideramos $n - 1$ médicos que, de fato, participaram dos apertos de mão. Portanto, a fórmula que precisamos é:

\frac{(n - 1) (n - 2)}{2} = 105

Agora, resolvemos a equação para encontrar $n$ :

Multiplicamos ambos os lados por 2 para eliminar a fração:

(n - 1) (n - 2) = 210

Expandimos o lado esquerdo:

n^{2} - 3 n + 2 = 210

Subtraímos 210 de ambos os lados:

n^{2} - 3 n - 208 = 0

Resolvemos a equação quadrática. Podemos aplicar a fórmula da equação quadrática:

n = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Para $a = 1$ , $b = - 3$ , $c = - 208$ , temos:

n = \frac{3 \pm \sqrt{(- 3)^{2} - 4 \times 1 \times (- 208)}}{2 \times 1}

n = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 832}}{2}

n = \frac{3 \pm \sqrt{841}}{2}

n = \frac{3 \pm 29}{2}

As soluções são $n = \frac{32}{2} = 16$ e $n = \frac{- 26}{2} = - 13$ .

Como o número de médicos deve ser positivo, temos $n = 16$ .

Portanto, havia 16 médicos presentes na conferência.

Iara M. · Answer

Para este problema utilizaremos a formula da análise combinatória, usando a combinação como base.  Sabendo que a combinação de n elementos p a p, temos: Comb = n!/p!(n-p)!  Temos que combinação =105 (quantidade de apertos de mão) e p=2 (pessoas apertam a mão de 2 em 2).  Sendo assim, temos n! / 2!(n-2)! = 105 Simplificando, temos n.(n-1) / 2 = 105 n^2 - n = 210 Preparando a equação, temos n^2 - n - 210 = 0  Resolvendo a equação de segundo grau, temos as raizes -14 e 15. Como o numero de pessoas tem de ser positivo, ficamos com 15 pessoas que apertaram as mãos.  Não podemos esquecer de somar o doutor que não apertou mão, logo temos 16 participantes ao todo

Vinicius R. · Answer

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