O gráfico, que corresponde a um arco de parábola, representa o lucro de uma empresa durante os noves primeiros meses de 2019. Nesse período, o lucro máximo obtido foi de R$ 19,5 milhões; logo depois, a empresa passou por uma crise interna, e seu lucro foi reduzido ao longo dos meses seguintes.
O lucro que a empresa obteve em agosto de 2019 foi de
Para ver o gráfico clique aqui
(A) R$ 7,0 milhões
(B) R$ 8,4 milhões
(C) R$ 10,5 milhões
(D) R$ 11,5 milhões
(E) R$ 12,5 milhões
Boa noite, Fabrício.
Precisamos descobrir a fórmula correspondente a função desse gráfico mostrado, para podermos estudar os valores de x e y, portanto, sabendo que a equação geral de uma função quadrática (função do segundo grau) é:
f(x)= y = ax^2 + bx + c
Precisaremos descobrir os valores das constantes a, b e c.
Logo ao analisar o gráfico, podemos ver que o valor de y para quando o x é 0 ( ou seja, quando o gráfico cruza o eixo do y) é 15, então analisando a função
y= ax^2 + bx + c
conseguimos chegar ao valor de "c" a partir disso, basta substituir o x por 0 e o y por 15:
15= a(0)^2 + b(0) + c
15 = c
Logo, temos a função
Y= ax^2 + bx + 15
Agora podemos descobrir os valores de "a" e "b" de acordo com a informação dada na questão, na qual afirma que o lucro MÁXIMO (ou seja, o maior valor de y) foi de 19,5 milhões. Sendo assim, vamos relembrar as fórmulas dos vértices em x e y de um gráfico (visto que o vértice é o ponto de máximo, logo lucro máximo, em gráficos com a concavidade para baixo):
Xv = -b/4a ; Yv = - (Delta)/4a
Primeiramente calculando Xv precisamos observar que cada mês representa um valor de x no gráfico, sendo janeiro= 0, fevereiro= 1 ; março= 2 e assim por diante.
Então temos que o ponto máximo desse gráfico é no mês de Abril, exatamente na metade dele, então, lembrando que cada mês equivale um número em x:
abril= 3
3=-b/2a
3.2a = -b
6a= - b
b= -6a
Agora vamos ao cálculo de "a":
Como o Yv é -(Delta)/4a, primeiramente vamos fazer o Delta
Delta= b^2 -4.a.c
Substituindo os valores que já encontramos:
Delta= (-6a)^2 -4.a.15
Delta= 36a^2 -60a
Então para calcular o Yv temos
Yv= -(36a^2 -60a)/4a
Separando em duas frações
Yv= -36a^2/4a + 60a/4a
Simplificando
Yv= -9a + 15
Lembrando que o próprio enunciado disse que Yv vale 19,5 milhões, portanto:
19,5 = -9a + 15
4,5 = -9a
a= - 1/2
Agora basta substituir o valor de a em "b"
b=-6a -> b=-6(-1/2)
b=3
Por fim, agora podemos escrever a equação que descreve o lucro em relação aos meses:
Y= -1/2x^2 + 3x + 15
Tendo a função, basta substituir o valor de x que foi dito para saber o valor do lucro.
Lembrando que o mês de agosto= 7 em X, então:
Y= -1/2(7)^2 +3(7) + 15
Y= -49/2 + 21 + 15
Y= -49/2 + 36
Y= (-49 + 72)/2
Y= 23/2
Y= 11,5
Logo, o lucro da empresa no mês de Agosto será 11,5 milhões.
Alternativa D.
Espero ter ajudado, qualquer dúvida é só me mandar mensagem e perguntar.
Fórmula geral aX2 + bX + c =y
x= 0 --> y = c = 15
x=6 --> y = 15
Yv =19,5 = -(b^2 - 4ac)/4a
Xv = -b/2a ou X = (6-0)/2 = 3
para (Xv,Yv) 9a + 3b +15 = 19,5 (i)
para (6 , 15 ) 36a +6b +15 = 15 (ii)
resolvendo o sistema por adição
fazendo (ii) - (2i) temos 18a -15 = -24 --> a= -1/2 substituindo em Xv --> b = 3
assim, chegamos a equação - x2/2 +3x +15 = y
para agosto --> X=7
-49/2 +21 +15 = y
(-49+72)/2 = y --> y = 23/2 = 11,5 Resposta letra D
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