Dúvida determinantes

Este é daqueles exercícios dá muito trabalho, apesar de ser fácil entender o que se deve fazer.

O PROBLEMA

Temos uma matriz quadrada de 4ª ordem cujo valor é zero, ou seja, o determinante dessa matriz é zero.

A =   |x    2       4      6   |    =  0
         |x   x+2    0     10  |
         |x²   0     4x      4   |
         |x    4     10     x-2 |

det A = 0

Fica claro que aplicando um método de cálculo de determinante deveremos chegar a uma equação que nos permita calcular o valor de x.

TEOREMA DE LAPLACE

O determinante de uma matriz quadrada qualquer com ordem maior que 2 pode ser calculado pelo Teorema de Laplace e será a soma dos produtos de cada elemento de uma linha ou coluna qualquer por seu respectivo cofator.

Então: det A = a_ij * A_ij  para uma única linha ou coluna qualquer de A

Calcular o cofator para cada elemento é um pouco trabalhoso. O cofator A_ij de um elemento a_ij da matriz A é o produto de -1 elevado a (i+j) pelo determinante da matriz resultante da eliminação da linha i e coluna j da matriz A.

Ou seja, o cofator de a_ij é:  A_ij = (-1)^i+j * D_ij 
onde D_ij é determinante da matriz formada da eliminação da linha i e coluna j da matriz original A 

CÁLCULO DO DETERMINANTE

Para aplicar Lapace podemos escolher qualquer coluna ou linha da matriz. No nosso caso optaremos pela linha 3 (é sempre bom escolher linha ou coluna que contenha zero). Durante o cálculo resolveremos os determinantes de matrizes quadradas de terceira ordem pelo método de Sarrus.

Cofator do elemento linha 3 coluna 1:

Cofator A₃₁ = (-1)³⁺¹ * |x    2       4      6   |    
                                      |x   x+2    0     10  |
                                      |x²   0     4x      4   |
                                      |x    4     10     x-2 |

Cofator A₃₁ = (-1)⁴ *    |  2      4     6   |
                                     | x+2   0    10  |
                                     |  4     10   x-2 |

Aplicando Sarrus:
Cofator A₃₁ = 1 * [2*0*(x-2)] + (4*10*4) + [6*(x+2)*10] – (4*0*6) – (10*10*2) – [(x-2)*(x+2)*4]
Cofator A₃₁ = (4*10*4) + [6*(x+2)*10] – (10*10*2) – [(x-2)*(x+2)*4]
Cofator A₃₁ = 160 + 60(x+2) – 200 – 4(x²-2²)
Cofator A₃₁ = 60(x+2) – 40 – 4(x-2)(x+2)

Cofator do elemento linha 3 coluna 2:

Cofator A₃₂ = (-1)³⁺² * |x    2       4      6   |    
                                      |x   x+2    0     10  |
                                      |x²   0     4x      4   |
                                      |x    4     10     x-2 |

Cofator A₃₂ = (-1)⁵ *    |  x    4     6   |
                                     |  x    0    10  |
                                     |  x   10   x-2 |

Aplicando Sarrus:
Cofator A₃₂= -1 * {[x*0*(x-2)] + (4*10*x) + (6*x*10) – (x*0*6) – (10*10*x) – [(x-2)*x*4]}
Cofator A₃₂= -1 * {(4*10*x) + (6*x*10) – (10*10*x) – [(x-2)*x*4]}
Cofator A₃₂= -1 * {40x + 60x – 100x – 4x(x-2)}
Cofator A₃₂= 4x(x-2)

Cofator do elemento linha 3 coluna 3:

Cofator A₃₃ = (-1)³⁺³ * |x    2       4      6   |    
                                      |x   x+2    0     10  |
                                      |x²   0     4x      4   |
                                      |x    4     10     x-2 |

Cofator A₃₃ = (-1)⁶ *    |  x    2      6   |
                                     |  x   x+2  10  |
                                     |  x     4    x-2 |

Aplicando Sarrus:
Cofator A₃₃ = 1 * {[x*(x+2)*(x-2)] + (2*10*x) + (6*x*4) – [x*(x+2)*6] – (4*10*x) – [(x-2)*x*2]}
Cofator A₃₃ = x(x+2)(x-2) + 20x + 24x – 6x(x+2) – 40x – 2x(x-2)
Cofator A₃₃ = x(x+2)(x-2) + 4x – 6x(x+2) – 2x(x-2)

Cofator do elemento linha 3 coluna 4:

Cofator A₃₄ = (-1)³⁺⁴ * |x    2       4      6   |    
                                      |x   x+2    0     10  |
                                      |x²   0     4x      4   |
                                      |x    4     10     x-2 |

Cofator A₃₄ = (-1)⁷ *    |  x    2      4   |
                                     |  x   x+2   0   |
                                     |  x     4    10  |

Aplicando Sarrus:
Cofator A₃₄ = -1 * {[x*(x+2)*10] + (2*0*x) + (4*x*4) – [x*(x+2)*4] – (4*0*x) – (10*x*2)}
Cofator A₃₄ = -1 * {10x(x+2) + 16x – 4x(x+2) – 20x} 
Cofator A₃₄ = -10x(x+2) + 4x + 4x(x+2)

Somatório dos produtos dos elementos pelos cofatores:

det A = {a₃₁ * A₃₁} + {a₃₂ * A₃₂} + {a₃₃ * A₃₃} + {a₃₄ * A₃₄}  

det A = {x² * [60(x+2) – 40 – 4(x-2)(x+2)]} + [0 * 4x(x-2)] + 4x * [x(x+2)(x-2) + 4x – 6x(x+2) – 2x(x-2)] + 4 * [-10x(x+2) + 4x + 4x(x+2)]

det A = {x² * [60(x+2) – 40 – 4(x-2)(x+2)]} + 4x * [x(x+2)(x-2) + 4x – 6x(x+2) – 2x(x-2)] + 4 * [-10x(x+2) + 4x + 4x(x+2)]

det A = 60x²(x+2) – 40x² – 4x²(x-2)(x+2) + 4x²(x+2)(x-2) + 16x² – 24x²(x+2) – 8x²(x-2) - 40x(x+2) + 16x + 16x(x+2)

det A = 60x²(x+2) – 24x²(x+2) – 4x²(x-2)(x+2) + 4x²(x+2)(x-2) + 16x² – 40x² – 8x²(x-2) - 40x(x+2) + 16x(x+2) + 16x

det A = 36x²(x+2) – 24x² – 8x²(x-2) - 24x(x+2) + 16x

det A = 36x²(x+2) – 24x² – 8x²(x-2) - 24x² – 48x + 16x

det A = 36x²(x+2) – 8x²(x-2) – 32x – 48x²

det A = x²[36(x+2) – 8(x-2)] – 32x – 48x²

det A = x²[36x + 72 – 8x + 16] – 32x – 48x²

det A = x²[28x + 88] – 32x – 48x²

det A = 28x³ + 88x² – 32x – 48x²

det A = 28x³ + 40x² – 32x

det A = 4x(7x² + 10x – 8)

Voltando ao enunciado do problema, sabemos que o determinante da matriz é zero, o que implica em:

4x(7x² + 10x – 8) = 0

Uma das raízes da função acima é zero. As outras duas podemos calcular para a equação 7x² + 10x – 8 = 0

Assim, os valores de x que resolvem a matriz proposta são -2, 0 e 4/7