Dúvida em mediana

Para determinar o maior valor possível para a mediana de uma lista de nove números inteiros, precisamos primeiro entender a posição da mediana em uma lista ordenada de nove elementos. A mediana será o quinto número quando a lista for ordenada.

Dados os números $7,8,3,5,9,$ e $5$, queremos adicionar três outros números inteiros à lista de modo que a mediana seja maximizada.

Primeiro, ordenamos os números fornecidos:

Como devemos adicionar mais três números e obter um maior valor possível para a mediana, precisamos olhar para o quinto número da lista ordenada. Para maximizar a mediana, os números adicionados devem ser suficientemente grandes para empurrar o quinto maior número atual (que é 7) para uma posição maior.

Vamos adicionar os três maiores números possíveis no final da nossa lista ordenada:

Assumindo que os números adicionados são maiores: $x_1,x_2,x_3$, onde $x_1\le x_2\le x_3$:

Portanto, nossa lista final, parcialmente, será:

Queremos maximizar o valor da mediana, que, em uma lista ordenada com nove elementos, será o quinto elemento.

Para maximizar o quinto elemento, $x_2$ deve ser menor ou igual a $8$, caso contrário, o quinto número será $8$. Adicionamos então:

1. $10$
2. $11$
3. $12$

Agora, a lista ordenada será:

Aqui, o quinto elemento é $8$.

Portanto, o maior valor possível para a mediana dos nove números da lista é: