Duvida em parábola.

Qual é o vértice e para onde está voltada a concavidade de uma parábola cujo foco é o ponto (-4,-1) e a reta diretriz tem equação y = 5?

Solução.

Dado que a reta diretriz é horizontal, então a parábola é vertical:

(y-k)² = 4p(x-h)

onde C=(h,k) é o vértice da parábola. Neste caso o foco e a equação da reta diretriz seguem as seguintes fórmulas:

Foco: F = (h, k+p) = (-4,-1)  => h = -4

Diretriz: y = k - p = 5

Segue-se

k - p = 5

k + p = -1

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k = 2; p = -3 (negativo)

Portanto:

• Vértice = (h, k) = (-4, 2)
• Concavidade Negativa (para abaixo)
• Equação da parábola: (x + 4)² = -12(y - 2)

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Primeiramente, observe que o parâmetro desta parábola é 2p = 6. Lembre-se que o parâmetro é a distância entre o foco e a reta diretriz. Neste caso, como a reta é paralela ao eixo y, devemos ter 2p = 5 - (-1) = 6. Assim, temos que o vértice está "na metade do caminho" do foco à reta diretriz, ou seja, chamando de V o vértice, V tem mesma coordenada x de F mas a coordenada y é tal que V está na condição destacada entre aspas. Assim, V tem coordenadas (-4, (-1+5)/2) = (-4,2). Voltando a olhar para o parâmetro, temos que p = 3, assim, de posse das coordenadas de V e do valor de p, podemos escrever a equação da parábola como segue:

(x+4)² = -4(3)(y-2).

Reescrevendo essa equação como y = (-1/12)x² - (2/3)x + 2/3, notamos que o coeficiente de x² é negativo, consequêntemente, a parábola tem concavidade para baixo.

Boa noite, Vitor.

Errata: terceiro caso: diretriz paralela ao eixo y, passando pelo primeiro e quarto quadrante.