Certamente! Vamos analisar a equação para o movimento do projétil e resolver as questões propostas.
A equação dada é:
Aqui, representa a altura em metros e representa o tempo em segundos após o lançamento.
A equação é uma equação quadrática que representa uma parábola. O termo indica que a parábola é voltada para baixo (tem concavidade para baixo).
Para encontrar a altura máxima atingida pelo projétil, precisamos encontrar o vértice da parábola. A fórmula para a coordenada do vértice de uma parábola é:
No nosso caso, e , substituindo na fórmula, temos:
Agora que temos segundos, precisamos encontrar substituindo na equação original:
Portanto, a altura máxima atingida pelo projétil é aproximadamente 83.33 metros.
Para determinar o tempo total que o projétil permanece no ar, precisamos encontrar os pontos onde ele atinge a altura zero (). Isso nos dá os momentos do lançamento e do impacto com o solo. Portanto, resolvemos a equação:
Fatorando, temos:
Isso nos dá duas soluções:
Portanto, o projétil permanece no ar por aproximadamente 3.33 segundos.
Para visualizar o gráfico, você pode usar um software de plotagem como GeoGebra, Desmos, ou uma calculadora gráfica.
Aqui está uma representação básica da parábola:
y
90 | *
| * *
80 | * *
| *
70 | *
| *
60 |
| *
50 | *
| *
40 |
|
30 |
|
20 |
|
10 |
|_______________|__________________|_______ x
0 1.67 3.33
Tempo (s)
Na figura acima, o ponto mais alto da parábola representa a altura máxima (83.33 metros) e ocorre aproximadamente em 1.67 segundos, com o projétil retornando ao solo por volta de 3.33 segundos.
Olá Isabela!
Vou tentar responder suas questões. Vamos lá!
Primeiro, esse gráfico é uma parábola. Creio que você já saiba disso hehe. Espero que você também saiba (só de olhar) que essa parábola tem a concavidade virada para baixo (concavidade é a "boca" da parábola). Imagine um índio tentando atirar uma flecha para cima com seu arco super tencionado. Pronto, o formato do arco é uma parábola. Caso você não saiba ou não se lembre, a concavidade é determinada simplesmente olhando o sinal do coeficiente que acompanha o termo quadrático (positivo indica concavidade para cima e negativo indica concavidade para baixo). No seu caso, temos -30x². Ou seja, o coeficiente é negativo (-30).
Segundo, a parábola sempre terá um vértice. Vértice é o único ponto da parábola que não possui outro ponto ao seu "lado". Novamente, imagine o índio anterior. Agora imagine que você comece a passar linhas retas cortando esse arco em duas partes, uma de cima e outra de baixo. Só há um lugar possível no arco em que você passará essa reta e terá apenas um ponto atingido. Em todas os outros lugares para passar essa linha, você atingirá o arco em dois pontos diferentes. Pois bem, esse ponto sozinho atingido é chamado de vértice.
Quando a concavidade é para cima, a parábola terá um ponto de mínima altura (imagine esse U). E quando tiver a concavidade para baixo terá um ponto de máxima altura (imagine esse símbolo aqui ?). No caso da questão, a parábola tem um ponto de altura máxima.
( I ) Pronto, agora podemos resolver sua questão! Para saber a altura máxima atingida, podemos usar uma fórmula para encontrar as coordenadas do vértice. Lembre-se de que um ponto é representado por (a, b), onde a primeira coordenada é a referente ao eixo x e a segunda ao eixo y. A fórmula é:
(-b/2a , -Δ/4a) , onde Δ é o delta
Como queremos saber qual a altura, precisamos apenas calcular a coordenada y desse vértice. Ela é:
-(100² - 4*(-30)*0)/4*(-30) = 10000/120 = 1000/ 12 = aproximadamente 83,33
Legal, então temos que a altura máxima atingida pelo projétil é 83,33 metros.
( II ) Agora falta a gente calcular quanto tempo o projétil permanece no ar. Vamos a isso:
Vou supor que você saiba sobre o plano cartesiano. Pois bem, imagine o eixo x no plano cartesiano. Agora imagine que esse eixo x seja o nosso chão. Pense bem: o que significa "o projétil permanece no ar"? Quer dizer que ele está longe do chão, certo? Agora imagine: o que significa "o projétil atingir o chão"? Significa que ele acertou o eixo x (nosso chão)! Certo?
Quando que algum gráfico atinge o chão? Em outras palavras, quando que o gráfico atinge o eixo x? Quando o valor do eixo y é igual a zero, certo?
É isso! precisamos saber quando que o eixo y é igual a zero nessa equação. Ou seja, precisamos encontrar as raízes da equação.
-30x² +100x = 0
Você pode usar o método que considerar melhor para encontrar as raízes. Nesse caso, eu usarei uma fatoração:
Como o x está nas duas parcelas, vamos fatorá-lo (colocar em evidência):
x * (-30x + 100) = 0
Transformamos uma soma em um produto (que é o que a fatoração faz!). Você sabe quando que um produto é zero? Apenas quando ao menos um dos fatores é zero. No nosso caso, temos os fatores x e (-30x + 100). Então o produto é zero quando x=0 ou quando (-30x + 100) = 0.
Se -30x + 100 = 0, então x = 10/3 = aproximadamente 3,33.
Por fim, temos que o x representa o tempo em segundos (conforme sua questão). O projétil estava no chão no tempo x=0, nesse mesmo instante foi lançado ao ar e depois voltou ao chão no tempo x=3,33. Portanto, o projétil permaneceu no ar desde o tempo x=0 até x=3,33. Ou seja, ele permaneceu 3,33 segundos no ar.
Se você fosse desenhar esse gráfico à mão, você teria que marcar o vértice no plano cartesiano, depois marcar os pontos correspondentes às duas raízes e depois desenhar o arco do índio passando por esses pontos :)
Pronto! A questão está resolvida. Para ver a foto da parábola, sugiro que você acesse o site aqui e digite a equação (ou pode olhar no link que o colega Julian mandou).
Espero que eu tenha ajudado você a aumentar seu entendimento, ainda que só um pouquinho!
Caso você tenha ainda alguma dúvida, faça uma nova pergunta que responderei alegremente!
Derivando y=-30x²+100x teremos y´=-60x+100
Sabemos que no ponto em que a derivada for igual a zero a função terá um ponto de máximo.
Então,
0=-60x+100
60x=100
x=100/60
x=10/6
Ou seja, quando x=10/6 a altura máxima do projetil será atingida e será:
y=-30(10/6)²+100x(10/6)
y=-30x(100/36)+(1000/6)
y=-3000/36+1000/6
y=-500/6+1000/6
y=500/6
A altura máxima atingida é 500/6 ou aproximadamente 83,33 metros
Agora basta encontrar as raizes da função y.
y=-30x²+100x
0=-30x²+100x
0=x(-30x+100)
já que temos um multiplicação, então, x=0 ou -30x+100=0.
Uma raiz é x=0.
-30x+100=0
100=30x
100/30=x
10/3=x é a outra raiz. Aproximadamente 3,33.
Marque no eixo x os valores 0 e 3,33 que são as raízes e no plano cartesiano marque o ponto do vértice (1,66; 83,33) ou (10/6; 500/6). Agora é só traçar a parábola para baixo.
https://www.geogebra.org/graphing
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