Boa tarde! Uma escola preparatória para concursos oferece aulas em 3 períodos do dia. Num determinado dia, foram feitas 27 matrículas. Cada aluno se inscreveu em apenas um período. No final do dia, foi feita uma tabela com o número de matriculados por período. De quantas maneiras distintas essa tabela pode ser preenchida? Alguém que consiga resolver e possa explicar? Obrigada.
Olá Mariana!
Vamos, primeiramente, entender como funcionaria essa tabela:
Preencheremos com possíveis quantidades de alunos matriculados em cada período.
| Manhã | Tarde | Noite | ||
| 27 | 0 | 0 | Se todos os 27 forem matriculados de manhã | 1 maneira |
|
26
|
1 | 0 | 26 matriculados de manhã e 1 a tarde |
2 maneiras
|
|
26
|
0 | 1 | 26 matriculados de manhã e 1 a noite | |
|
|
|
|||
|
25
|
2 | 0 | 25 matriculados de manhã e 2 a tarde |
3 maneiras
|
|
25
|
1 | 1 | 25 matriculados de manhã, 1 a tarde e 1 a noite | |
|
25
|
0 | 2 | 25 matriculados de manhã e 2 a noite | |
|
|
|
|||
|
24
|
3 | 0 | ... |
4 maneiras
|
|
24
|
2 | 1 | ||
|
24
|
1 | 2 | ||
|
24
|
0 | 3 | ||
| . | . | . | ... | |
| . | . | . |
O raciocínio segue até termos apenas matriculados a noite
|
|
| 0 | ... | 28 | 28 maneiras |
Com essas quantidades da última coluna podemos somar as maneiras para chegar ao total
1 + 2 + 3 + ... + 28
Observe que é uma progressão aritmética, então basta utilizarmos a fórmula da soma dos n termos de uma PA.
Onde:
Há 406 maneiras distintas que a tabela pode ser preenchida.
Espero que tenha ajudado!
Olá caro aluno.
Nesse caso usaremos o teorema do "pau bola"
aaaaaa/aaaaaaaaaa/aaaaaaaaaaa
Tudo o que estivar antes da primeira barra é a quantidade de matriculas no primeiro turno, entre a primeira e a segunda é a quantidade de matriculas do segundo turno e o que estiver depois da barra é a quantidade de matriculas do terceiro turno. Nesse caso, o primeiro turno fica com 6 matrículas, o segundo com 10 e o terceiro com 11.
Note que podemos construir várias ordens com esses elementos e que cada uma delas representa uma maneira possível de distribuição de matrículas entre os 3 turnos, inclusive com a possibilidade de que haja turnos com nenhuma matrícula e de que um turno fique com todas as matrículas, sendo que em todas as possibilidades teremos sempre, ao todo, 27 matrículas totais .
Assim a permutação 29!/(27!×2!) dá o resultado desejado de 406.
Espero ter ajudado.
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