O estudante de medicina quer modelar a pressão arterial de uma pessoa usando a função P(x) = a + b cos (k.x), onde a, b e k são constantes reais positivas e x é o tempo em segundos. Dados: pressão mínima = 84, pressão máxima = 126, número de batimentos cardíacos por minuto = 120. A função obtida pelo estudante é f(x) = 105 + 21 cos (2?x).
O estudante de oceanografia quer modelar a altura da maré em certa praia. As marés altas ocorrem às 1h e às 13h com altura de 2m, enquanto as marés baixas ocorrem às 7h e às 19h com altura de 0,5m. A função trigonométrica que modela a altura das marés é f(x) = 1,25 + 0,75 sen ((?x)/6 + ?/3).
Questões bem interessantes,Edson!
Vamos lá!
1) Antes de calcular os valores de "a","b" e "k",julgo importante explicar o que faz cada constante dentro da função:
a-> faz o deslocamento vertical da função
b-> representa a amplitude da função
k->relaciona-se com o periodo(T) da função,sendo T=2? / |k|
Para saber o valor de "a",faz-se a média aritmética entre o máximo e o mínimo da função(nesse caso,a pressão máxima e a mínima)
a=(126+84)/2
a=210/2
a=105
Para descobrir o valor de "b",faz-se a diferença entre o valor da pressão máxima e o valor de "a",ficando do seguinte modo:
b=126-105
b=21
Já para descobrir o valor de "k",deve-se pensar no período da função.
É dito no enunciado que "um batimento cardíaco representa o intervalo de tempo entre duas sucessivas pressões máximas" ,disso é possível concluir que em um batimento é realizado uma volta completa(2?) no ciclo trigonométrico.
Além disso,é citado que o número de batimentos cardíacos por minuto é de 120.
Como no enunciado o "x" está em segundos,tem que fazer a transformação da quantidade de batidas para segundo também,o que definirá a frequência das batidas:
120 batidas/60 segundos = 2 batidas/segundo , esse valor será a frequência da função
Como f=1/T,
2=1/T
T = 1/2 s
T=2? / |K|
1/2 = 2? / |k|
|k| = 4?
k = +4? ou k=-4? , como no enunciado é dito que "k" é uma constante real positiva,pode-se concluir que k=4?
Sendo assim, a função encontrada pelo estudante é:
f(x) = 105 + 21 cos (4?x)
2)Essa questão tem um raciocínio bem semelhante da primeira,só que com um detalhe adicional do deslocamento horizontal da função.
Na forma geral das funções trigonométicas elas aparecem na seguinte forma:
f(x) = a +b sen(kx +d)
a-> faz o deslocamento vertical da função
b-> representa a amplitude da função
k->relaciona-se com o periodo(T) da função,sendo T=2? / |k|
d-> faz o deslocamento horizontal da função
obs: na questão "1", o d valia zero
Os raciocínios feitos para descobrir "a","b" e "k" são os mesmos feitos na questão 1
a=(2+0,5)/2
a=2,5/2
a=1,25
b=2-1,25
b=0,75
Como a maré alta ocorre,às 1h e às 13h,conclui-se que o período(T) da função é de 12h.
T=2?/ |k|
12=2? / |k|
|k| = ?/6
k= + ?/6 ou k= - ?/6 ,
como a maré alta ocorre primeiro que a maré baixa no dia, pode-se concluir que k = + ?/6
Já para decobrir o valor de "d" , como não é dado o desenho do gráfico,você pode pensar o seguinte :
Em uma função seno "normal" f(x) =sen x
o ponto máximo(1) ocorre quando x=?/2 e
o ponto mínimo(-1) ocorre quando x=3?/2
Sendo assim,a diferença angular do máximo com o mínimo é de 2?/2 , ou seja, ?.
Além disso isso ocorrerá a cada 6h,pois é dado que a máxima ocorre às 1h e a mínima às 7h.
Com isso,para saber em que altura estava a maré quando ele iniciou a contagem,pode-se pensar o seguinte.
Se ele percorre ? -------- 6h
x----------1h
6x=?
x=?/6
Disso infere-se que uma hora antes do máximo(?/2) o gráfico se encontrava em ?/3 , pois:
?/2 -?/6
3?/6 -?/6
2?/6
?/3 , sendo assim , esse foi o deslocamento horizontal da função , que é o valor de "d" , e como o deslocamento foi feito para a esquerda , o valor de d será positivo.
Desse modo a função que modela a altura das marés será:
f(x) = 1,25+0,75 sen(?x/6 + ?/3)
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