Dúvidas de português

A frase não está gramaticalmente errada. Mas segundo a norma culta, devemos evitar termos desnecessários. Note que se retirar o "e", não há alteração do sentido. Portanto ele é desnecessário. No seu lugar pode colocar uma vírgula e continuar com o restante da frase. " O zelo é uma necessidade, não uma opção!" Na área de português conseguirá respostas de mais profissionais. 

Na última frase o termo "sua" não precisa ser repetido duas vezes. Essas duas opções estão corretas:

Saúde mental é sua prioridade. 

A saúde mental é sua prioridade. 

Sim, a frase "Lembrete: O zelo com a saúde mental é uma necessidade e não uma opção!", está gramaticalmente correta, porém o "e" não é necessário caso queira.

A pergunta "Sua saúde mental tem sido sua prioridade?" também está correta do ponto de vista gramatical. Entretanto, para melhorar a fluidez, você pode considerar as seguintes reestruturações:

"Sua prioridade tem sido a saúde mental?"

"Sua saúde mental tem sido prioridade?"

Dessa forma, a frase fica mais suave e mantém a clareza na expressão da pergunta.