1- Considere o ponto P ( 5, 32) e o ponto Q de abscissa 45 , de ordenada positiva. Sabe - se que a distância de Q até P é igual à distância de Q até o eixo das abscissas. Determine as coordenadas do ponto Q.
2- Os pontos A ( -1, 0 ), B ( 0, 10 ) e C ( 7,0) são vértices de um triângulo. Sejam M e N os pontos médios de AB e BC, respectivamente. Determine a área do triângulo OMN.
3- Considere o ponto P = (k, 3 ) e a reta r : 3 x + 4 y + 3 = 0. Determine k de forma que a distância de P até a reta r seja de 1.
(1)
Sabendo que P e Q são, respectivamente, P(5, 32) e Q(45, y), onde y é a incógnita do problema e sabemos que deve satisfazer a seguinte relação:
Distância(Q,P) = Distância(Q, Eixo x)
Ou seja
Raíz[ (45 - 5)^2 + (y - 32)^2 ] = y (Obs: A distância de Q até o eixo x é a distância perpendicular do ponto até esse eixo, no caso, a "altura" do ponto, que vale y )
Então
40^2 + (y - 32)^2 = y^2 => 40^2 + y^2 - 64y + 32^2 = y^2
=> 40^2 - 64y + 32^2 = 0
=> 64y = 32^2 + 40^2
=> y = (32^2 + 40^2)/64 = 41
Logo, y = 41
(2)
Os pontos M e N, ou seja, os pontos médios, podem ser calculados como segue:
M = (A + B)/2 = (-1/2, 5)
N = (B + C)/2 = (7/2, 5)
Graficamente, observa -se que o triângulo MNO possuirá 5 de altura e a sua base será a distância entre M e N, isto é:
base = Distância(M, N) = N - M => base = 7/2 - (-1/2) = 4
Portanto
Área = (base.altura)/2 = (4).(5)/2 = 10 u.a
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