Economia estatística e probabilidade

A. Para calcular a probabilidade de que a média amostral esteja dentro de ±5 da média populacional, podemos utilizar a distribuição normal com a média populacional (?) e o desvio padrão populacional (?) divididos pela raiz quadrada do tamanho da amostra (n). Nesse caso, ? = 200, ? = 50 e n = 100.

Podemos calcular o desvio padrão da média amostral (?x?) usando a fórmula ?x? = ? / ?n:

?x? = 50 / ?100 = 50 / 10 = 5.

Agora podemos calcular a probabilidade usando a tabela Z (tabela da distribuição normal padrão) para encontrar a área entre Z = -0,5 e Z = 0,5. Essa área representa a probabilidade de que a média amostral esteja dentro de ±5 da média populacional.

A probabilidade é a mesma para ambos os lados da média populacional, então precisamos encontrar a área de apenas um lado e multiplicá-la por 2.

Consultando a tabela Z, encontramos a área correspondente a Z = 0,5 como 0,6915 e a área correspondente a Z = -0,5 como 0,3085. Somando essas áreas e multiplicando por 2, temos:

Probabilidade = 2 * (0,6915 - 0,3085) = 2 * 0,383 = 0,766.

Portanto, a probabilidade de que a média amostral esteja dentro de ±5 da média populacional é de aproximadamente 0,766, ou 76,6%.

B. Da mesma forma, podemos calcular a probabilidade de que a média amostral esteja dentro de ±10 da média populacional. O desvio padrão da média amostral (?x?) permanece o mesmo, 5.

Agora, procuramos a área entre Z = -1 e Z = 1 na tabela Z. Essa área representa a probabilidade de que a média amostral esteja dentro de ±10 da média populacional.

Consultando a tabela Z, encontramos a área correspondente a Z = 1 como 0,8413 e a área correspondente a Z = -1 como 0,1587. Somando essas áreas e multiplicando por 2, temos:

Probabilidade = 2 * (0,8413 - 0,1587) = 2 * 0,6826 = 1,3652.

No entanto, a probabilidade não pode ser superior a 1, pois representa uma chance máxima de ocorrência. Portanto, a probabilidade de que a média amostral esteja dentro de ±10 da média populacional é de aproximadamente 1, ou 100%.

Para resolver essas questões, podemos utilizar a distribuição normal e a fórmula do erro padrão da média. O erro padrão da média (EP) é dado pela fórmula: EP = ? / ?n, onde ? é o desvio padrão populacional e n é o tamanho da amostra. A. Para calcular a probabilidade de que a média amostral esteja dentro de ±5 da média populacional, podemos calcular a probabilidade de que a diferença entre a média amostral e a média populacional seja menor ou igual a 5. Como a amostra é grande (n = 100), podemos aproximar a distribuição da média amostral para uma distribuição normal. A probabilidade de que a média amostral esteja dentro de ±5 da média populacional é igual à probabilidade de que a diferença entre a média amostral e a média populacional seja menor ou igual a 5 desvios padrão da média amostral: P(|X? - ?| ? 5) = P(-5 ? X? - ? ? 5) Usando a propriedade da distribuição normal, sabemos que a diferença entre a média amostral e a média populacional segue uma distribuição normal com média zero (?_X? - ? = 0) e desvio padrão igual ao erro padrão da média (EP). Portanto, podemos padronizar a diferença para uma distribuição normal padrão (Z): P(-5 ? X? - ? ? 5) = P(-5/EP ? Z ? 5/EP) Agora, podemos consultar a tabela da distribuição normal padrão para encontrar a probabilidade correspondente. A probabilidade é a área sob a curva da distribuição normal entre -5/EP e 5/EP. B. O cálculo para a probabilidade de que a média amostral esteja dentro de ±10 da média populacional é semelhante ao caso anterior: P(|X? - ?| ? 10) = P(-10 ? X? - ? ? 10) Usando a mesma lógica, a probabilidade pode ser calculada como a área sob a curva da distribuição normal entre -10/EP e 10/EP. Lembrando que o erro padrão da média (EP) é calculado como ? / ?n, onde ? é o desvio padrão populacional e n é o tamanho da amostra. No caso apresentado, o desvio padrão populacional é dado como 50 e o tamanho da amostra é 100. Você pode calcular as probabilidades utilizando a tabela da distribuição normal padrão ou utilizando uma calculadora estatística ou software de análise de dados.

O Teorema Central do Limite nos permite assumir que a distribuição da média amostral é aproximadamente normal se o tamanho da amostra é grande o suficiente (geralmente, n > 30 é suficiente). Neste caso, o tamanho da amostra é 100, então podemos aplicar o teorema. 

De acordo com o Teorema Central do Limite, a média amostral tem uma distribuição normal com a mesma média da população e um desvio padrão igual ao desvio padrão da população dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra. Isso é chamado de erro padrão.

A. A média da população é 200 e o tamanho da amostra é 100. O desvio padrão da população é 50, portanto, o desvio padrão (erro padrão) da média amostral é 50 / sqrt(100) = 5.

Para encontrar a probabilidade de que a média amostral esteja dentro de ±5 da média populacional, precisamos converter isso para uma pontuação Z. A diferença de 5 é exatamente uma vez o desvio padrão da média amostral, portanto, a pontuação Z é ±1.

Consultando a tabela Z (também conhecida como tabela da curva normal padrão), encontramos que a probabilidade para uma pontuação Z de ±1 é de cerca de 0,6827 ou 68.27%.

B. Para a probabilidade de que a média amostral esteja dentro de ±10 da média populacional, a diferença de 10 é duas vezes o desvio padrão da média amostral, portanto, a pontuação Z é ±2.

Consultando a tabela Z, encontramos que a probabilidade para uma pontuação Z de ±2 é de cerca de 0,9545 ou 95.45%.

Assim, concluímos que a probabilidade de a média amostral estar dentro de ±5 da média populacional é de aproximadamente 68.27% e a probabilidade de estar dentro de ±10 da média populacional é de aproximadamente 95.45%.

2) a) 0,6826 ; b) 0,9544