Boa noite Maria Teresa.
Essa equação envolve o conhecimento sobre fatorial (!).
Para resolver, primeiramente deixaremos todos os fatoriais iguais, ou seja,
(y+3)! = (y+3)(y+2)(y+1)! e
(y+2)! = (y+2)(y+1)!
Agora, todos eles aparecem (y+1)!
Substituindo os resultados, temos
(y+3)(y+2)(y+1)! + (y+2)(y+1)! = 15(y+1)!
Vamos dividir ambos os lados por (y+1)! e como fatorial está definido apenas para números inteiros positivos não precisamos ter a preocupação de (y+1)! ser diferente de ZERO.
Assim teremos
(y+3)(y+2) + (y+2) = 15
Colocando (y+2) em evidência, temos
(y+2)(y+3+1) = 15
(y+2)(y+4) = 15
y² +6y + 8 = 15
y² + 6y +8 -15 = 0
y² + 6y -7 = 0
Temos uma equação do 2º grau, onde a SOMA = -6 e o PRODUTO = -7
Portanto, y = 1 ou y = -7
Neste caso, como já mencionado, números negativos não convém para fatorial, e se y = -7, (y+1)! = (-6)!
número que não está definido.
Portanto a solução é y = 1.
Observações:
1 - Se por acaso não compreendeu quando coloquei (y+2) em evidência, não se preocupe. Faça a distributiva de (y+3)(y+2) + (y+2) e junte os termos semelhantes que chegará em y² +6y + 8 da mesma forma.
2 - A equação do 2ª grau pode ser resolvida pela fórmula de BHASKARA, caso não compreenda a resolução por SOMA e PRODUTO.
Por Bhaskara, temos
DELTA = 64
y = (- 6 + 8 )/2 = 2/2 = 1
ou
y = (- 6 - 8 )/2 = -14/2 = -7
Espero ter ajudado. Boa noite e bons estudos!
Comprovando o resultado, temos que a equação inicial é dada por
(y+3)! + (y+2!) = 15(y+1)!
Substituindo y por 1, temos
4! + 3! = 15.2!
4.3.2.1 + 3.2.1 = 15.2.1
24 + 6 = 30 (Verdadeiro).
